为什么浮点值在python中舍入？

Question

我已经读过Python支持的最小浮点值-308。 确切的数字无关紧要，因为：

>>> -1.42108547152e-14 + 360.0 == 360.0
True

那是怎么回事？我在Windows上安装了CPython 2.7.3。

它导致我的错误。如果我将我的值-1.42108547152e-14（以某种方式计算）与某些“delta”进行比较，我的问题将得到解决，并执行此操作：

if v < delta:
    v = 0

我应该选择什么delta？换句话说，值小于这种效应会发生什么？

请注意，NumPy不可用。

Answer 1

一个（过）简化的解释是：一个（正常）双精度浮点数保持（相当于）大约 16 十进制数字。让我们尝试手工添加：

 360.0000000000000000000000000
-  0.0000000000000142108547152
______________________________
 359.9999999999999857891452848

如果你把它四舍五入到16位数（3点之前和13点之后），你得到360。

现在，实际上这是用二进制完成的。因此，“16位小数”不是精确的规则。实际上，此处的精度（256.0和512.0之间）是数字小数部分的44位二进制数字。因此，与360最接近的可以表示的数字是360减去{2到-44次幂}，这给出了：

 359.9999999999999431565811391 (truncated)

但由于我们之前的结果接近360.0而不是此数字，因此360.0就是您所得到的。

Answer 2

大多数处理器使用IEEE 754二进制浮点运算。在此格式中，数字表示为符号 s ，分数 f 和指数 e 。该分数也称为有效数。

符号 s 分别为0或1，分别代表+或 - 。

在双精度中，有效数 f 是一个53位二进制数字，在第一位之后有一个小数点，例如1.1010000100100110011100011011001100101010000000100011 ₂ 。

在双精度中，指数 e 是-1022到+1023之间的整数。

符号，有效数和指数表示的组合值为（-1） ^s •2 ^e •˚F

当您添加两个数字时，处理器会计算出用于结果的指数。然后，给定该指数，它计算出用于结果的分数。添加大数字和小数字时，整个结果将不适合有效数字。因此，处理器必须将数学结果舍入到适合有效数字的内容。

在您询问的情况下，第二个添加的数字非常小，以至于舍入产生与第一个数字相同的值。要更改第一个数字，必须添加一个值，该值至少是第一个数字的有效位数中最低位的值的一半。 （当舍入时，如果不适合有效数字的部分超过有效数字的最低位的一半，则向上舍入。如果它正好是一半，如果它使最低位为零或向下舍入，则向上舍入使最低位为零。）

浮点数还存在其他问题，例如次正规数，无穷大，指数的存储方式等等，但上面解释了您询问的行为。

在您询问的具体情况中，添加到360，添加任何大于2的值 ^-45 将产生大于360的总和。添加任何小于或等于2的正值 ^-45 将精确地产生360.这是因为360中的最高位是2 ⁸ ，因此其有效数中的最低位是2 ^-44 。