决策变量的数量与客观空间维度的比较？

Question

这两者是否彼此不同？

在优化问题（特别是进化优化）的背景下，我遇到了术语决策变量，正如其定义和实践所暗示的那样，这些是我们想要找到最佳价值的变量找到最佳目标函数值。

让我感到困惑的是，有时问题的决策变量和维度会被单独处理。他们不一样吗？例如，如果我想要优化的2D函数f(x1,x2)，那么决策变量不是x1和x2吗？那么，这两个数字都是2，不是吗？

这两者有什么不同吗？约束优化问题有什么不同吗？

或者，如果它们总是一样的，为什么这些术语有所不同？

Answer 1

基于维基百科，mathematical optimization问题可表示为：

• 给定函数f：A - ＆gt; R，从集合A到实数R
• 为最小化找到一个值x0，使得f（x0）小于f中的所有x的f（x）。

函数f采用参数x0，这是决策变量。所以空间A，问题空间有一个维度。问题的维度和决策变量的数量是相同的概念。如果f将采用两个参数f（x0，x1），则会有两个决策变量。

目标空间的维数是函数f返回的变量数。在我们的例子中，f将一组解A映射到实数R.因此，目标空间的维数为1.

我们可以定义一个多目标优化问题，其中函数f返回一个向量，或者我们尝试一次优化多个函数f_k。然后将问题定义为：

• 给定一组函数（f1，f2，...，fk）：A - ＆gt; R ^ k，从集合A到实数R ^ k
• 求值x0这样（f1（x0），f2（x0），...，fk（x0））支配每个（f1（x），f2（x），...，fk（x））对于A中的所有x，用于最小化。

问题维度为1，目标空间为k维。可以使用加权和将目标组合到单个目标，或者可以使用多标准优势的概念（例如Pareto dominance）来优化目标。