插值建议（线性，立方？）

Question

我需要找到未定义函数与阈值相交的点的良好近似值。我正踩过我的空间，每当我发现后面两个步骤位于阈值的不同侧面时，我在其间的某处添加一个点：

_{（来源：ning.com）}

我的第一个方法是选择中间点，但这显然是一个可怕的解决方案：

_{（来源：ning.com）}

我现在使用的是线性插值，它给出了一个合理的结果，但基本功能实际上永远不会是线性的。因此，只有当我的步长足够小时，这才有效：

_{（来源：ning.com）}

对基本函数进行采样可能非常昂贵，但是为了得到更好的近似值，添加一个或两个额外的样本是我想要尝试的。可以在这里使用立方插值吗？像这样：

_{（来源：ning.com）}

还是有更好的方法吗？

非常感激， 大卫拉滕

PS。我正在用C＃编写，但这是一个与语言无关的问题。

Answer 1

你的最后一张照片只显示了三个点，这只能定义一个二次多项式，而不是立方多项式。对于三次插值，您需要四个点。三次多项式可以以不同的方式拟合;这是两个。

最直接的方法是简单地让（唯一的）多项式通过所有四个点。

另一种方法是使用切线。同样，我们需要四点。让左边的两个点定义一个斜率。让多项式通过第二点（通常，它不会通过第一个点），并匹配该点的计算斜率。对于第四点和第三点，右侧也是如此。

顺便说一下，任何高阶多项式都可能是一个坏主意，因为它们在存在一点点输入噪声的情况下往往变得非常不稳定。

如果您提供有关问题域的更多详细信息，我可以提供更具体的答案。例如，您的数据点来自哪里，您通常可以期望什么样的曲线，如果需要，您可以返回并采样更多吗？如果需要，我也可以提供方程式和伪代码。

更新：愚蠢的我留下了一个句子，指的是两种方式，而不是输入它们。现在输入它们。

Answer 2

我的数学非常生疏，但你可能会发现Newton Raphson method给你带来了很好的效果。一般来说，假设迭代开始“足够接近”所需的根，它会非常快速地收敛到准确的解决方案。

Answer 3

神奇的词是“根解算器”;数学根是函数等于零的值。通过添加/减去阈值，您可以使用根查找器。

如果您知道要插入的功能，可以设置一个非常快速的根寻找器。如果不有你的帖子建议的线索（“未定义”），最好的方法是“布伦特方法”，“割线方法”和“二分法”的组合，或者“割线方法“单独。维基百科有这个方法的条目。

与您的观点相反，使用更复杂的功能并不是一个好主意。主要的性能障碍是功能评估，其随着更多点/获得导数或更复杂的插值函数而增加。

如果你接近最大值/最小值/拐点，Newton-Raphson方法非常糟糕，因为接近于零的导数会让你远离该点，并且还存在其他一些问题。在你知道自己在做什么之前不要使用它。