Question

由于8球比赛的台球可以在多种规则下进行，所以这就是我所说的货架：

enter image description here

即。 8球必须在中心，并且沿着两侧，条纹和固体必须交替。剩下的两个球（条纹和实心）并不重要。

假设你刚刚完成一个游戏，收集球，将它们放入机架并继续安排它们开始一个新的。他们现在是随机的。你怎么办？

_{免责声明：绘画艺术如下}

enter image description here

一种简单的方法是按顺序开始，top - ＆gt;底部和左侧 - ＆gt;右。

例如，我们假设1处于正确的位置。 5不是2，我们将其与4交换，然后我们将3与8（或与4）交换，但这已经效率低下，因为我们'要么将8移动到中心，要么将4移到{{1}}的位置 - 即不是最后的位置。

我们还决定在角落里制作哪种类型的球。你是如何预先决定的？你应该考虑到已有多少球？在我的例子中，如果你想要角落里的灰色，你已经有3个（球1,10,14）。如果你想要角落里的白色，你只有2个（2,11）。这有关系吗？

为了形式化，我们可以假设我们可以做两个三个操作：

交换两个相邻的球
交换两个不相邻的球
旋转架子

由于我们可以使用双手，让我们假设我们可以并行第一次操作（同时交换2对球），而我们一次只能交换两个不相邻的球。

哪种方法最适合此任务，最大限度地缩短时间（以所描述的时间单位）？贪婪是最好的吗？（这就是当我把它们架起来的时候我是这么做的），我猜）

编辑：根据现有（或以前的答案） - 你可能会认为角落里的条纹比条纹更多意味着大步更喜欢角落 - 不是说它不是真的，但如果你做出这个假设，请证明它

Answer 1

请注意！这个答案是在轮换要求之前写的。请谨慎行事：）

这是我对问题的初步看法。

要做的第一件事是计算外部的奇偶校验 - 如果它适合'角落中的条纹'则为+1，如果它适合'角落中的实体'则为-1，如果是8球则为+0。这给了我们从+12到-12的范围，我们的目标是我们更接近的极端。（如果+0，选择+12或随机）

例如，这是+1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +0 -1因此它在角落里是-1倾斜实体：

x o x x o
 x o x o
  8 x o
   o x
    o

接下来要做的就是将8球移到中心位置。如果你可以做两个相邻的交换，将两个球移动到位，而不是一个相邻的交换，只将一个球移动到位（或者如果它在一个角落中，则单个非相邻），这样做。 / em>的

x o x x o x 8 x o o x o o x o

在我们移动8球之后，两个相邻交换球的所有组合共用球可以由相邻的交换产生相同的，所以我们必须立即考虑复杂性。

按此优先顺序排列所有剩余的动作：

- 外面两个相邻球之间的交换是“值4”（如果它是我们的最后一个，则为2）

- 两个相邻球之间的交换，一个在外面，是'值2'（如果它是我们的最后一个）

- 外面两个球之间的交换是“值2”

- 两个球之间的交换，一个在外面，是'值1'

从上到下执行它们。

所以我们移动顶部的左侧，左侧（4），右侧的o（2），左侧的o（2），然后将x顶部与中间的o交换（2）。我们最终在2-2-1系列中进行了五次交换，因此有三次移动。

o x o x o x 8 x x o o o x x o

（值得注意的是，如果我们针对角落中的条纹，这个问题就会得到解决。）

x x o o x o 8 o x o x o x o x

我认为要求4回合是不可能的，但我还没有证明这一点。

另一个有效的例子：

这个奇偶校验为+1，所以我们的目标是角落里的条纹：

8 o o o x o o o x o x x x x x

与中心x交换8球（1 - ）

x o o o x o o o x o 8 x x x x

交换两个相邻的外部，4个点（1-1）

x o o o x o o o x x 8 x o x x

将相邻边缘交换到中心，2点（1-2 - ）

x o o o x o o x o x 8 x o x x

交换边缘到边缘，2点（1-2-1 - ）

x o x o x o o x o x 8 x o o x

3招。

编辑：这对于开幕式中的示例非常有效，通过两个步骤解决它：

这个奇偶校验为+1，所以我们的目标是角落里的条纹：

x x o o x o o x o o o 8 x x x

在边缘上用x交换8，然后用o在中心（求解两条边）（2 - ）

x x o o x o o x o o 8 x x o x

在左上角和左下角交换相邻的o和x（求解四条边）（2-2 - ）

x o x o x o o x o x 8 x o o x

2招。

Answer 2

你有两个八球，骗子。

在给定的示例中，解决方案需要2个步骤：

2-5,3-8
3-4,11-12

通过为dynamic programming（DP）配置问题，可以获得最佳解决方案。由于问题是多阶段的，固定成本且没有不确定性，因此将存在最佳解决问题的DP矩阵。

创建矩阵：请注意，考虑对称性，8球可以位于9个位置之一。固体可以以约（14选7）/ 2 = 1716种不同方式排列。这意味着机架配置的总数约为1716 * 9 = 15,444。因此，您有15,444种不同的可能状态。计算从这些状态中的任何一个到任何其他状态的成本。这导致具有15,444 * 15,444个细胞的基质，或约25亿个细胞。识别所有终端状态单元。要解决矩阵问题，您需要从起始状态开始向前搜索，直到达到结束状态（或直到达到高于当前最低成本的成本总额）。通过这样做，您可以证明找到了所有成本最低的路径。

请注意，上述解决方案有点幼稚，可以通过各种方式进行优化，以产生更小的矩阵。例如，您可以使用旋转对称来减少单元格数量，并将成本增加1（用于旋转机架）到正确的路径，除了将8球放在其中一个低中心位置。

Pseudocode:

Create DP Matrix:

(1) determine number of possible arrangements, A, of balls
(2) for each arrangement, make a list of possible unique moves  
---- the possible moves are:  
------- rotating right  
------- rotating left  
------- exchanging any pair of balls  
------- exchanging any two pairs of adjacent balls  
(3) for each move in A store a pointer to the resulting arrangement  
(4) for each arrangment make an attribute indicating whether it is an end state  

Solve Problem  
(5) goto arrangement for starting position S  
(6) set best-cost-so-far (BCSF) variable to infinity
(6) breadth search from S, accumulating current cost CC as +1 for each transition
(7) if you reach an end state CC < BCSF, then set BCSF = CC and make solution list contain only the current path
(8) if you reach an end state CC = BCSF, then add path to solution list
(9) if CC > BCSF abandon branch and try next branch

The result will be a list of all possible solutions and the minimum cost BCSF.

Answer 3

有15!/(7!7!1!)=51480个可能的职位。其中，4个是最终的：可以更换球8和9，并且可以反转条纹/固体。我们会说这些位置在距离0处。

对于这4个位置中的每一个，生成所有可能的移动（1个交换或2个相邻交换）。对于之前未见过的这些移动所产生的每个位置，记住用于生成它的移动，并将这些位置给予距离1.然后对距离1处的每个位置执行相同的操作，并给出新位置距离2.保持这样做直到没有新的职位。

这利用了这样一个事实：正如@DPenner指出的那样，旋转总是可以用相邻的移动来代替。

由于掉期是他们自己的反转，从A位移到B的移动也是将位置B移回A的移动。

所以，你最终会得到一个所有位置的列表，对于每个不是最终位置的位置，这一移动肯定会使它更接近最终位置。

你会发现有232个位置需要至少4次移动。（编辑：我的邻接表之前包含错误。）例如：

      6-9,14-15     2-12       2-5,4-7       1-2
    x           x           x           x           o
   x x         x x         8 x         o x         x x
  x o x   =>  x o o   =>  x o o   =>  o 8 o   =>  o 8 o
 o o o x     o o x x     o o x x     x o x x     x o x x
o 8 o o x   o 8 o x o   o x o x o   o x o x o   o x o x o

没有初始位置需要超过4次动作。

编辑：首先交换8球的策略不是最佳的。例如：

         5-11     12-13,14-15    4-7,6-10
    x            x            x            x
   o o          o o          o o          o o
  o x o   =>   o 8 o   =>   o 8 o   =>   x 8 x
 x o x x      x o x x      x o x x      o o x o
8 x o x o    x x o x o    x o x o x    x o x o x

但我们可以做得更好：

         3-11       1-2,3-5
    x            x            o
   o o          o 8          x x
  o x o   =>   o x o   =>   o 8 o
 x o x x      x o x x      x o x x
8 x o x o    o x o x o    o x o x o

问题在于x是角落的错误类型，所以我们失去了一个动作。

相反，策略应该是寻找一个不合适的球，但不能与相邻的球交换，要么是因为它们是相同类型的，要么它们已经处于适当位置。角落应该是首选，因为它们具有最少的相邻交换选项。它应与位置正确的球交换。如果第一球的最终位置的球是错误的，则应选择错误位置的相邻球。这样，随后的相邻交换将把这些球放在正确的最终位置。

在上面（计数器）示例中，8球需要长时间交换才能到达其最终位置。但是，＃5中的x是错误的类型，所以我们交换相邻的o，第二行中的第二个。

前面有4个动作的例子解决如下：

        11-2         12-5        13-3       9-10
    x           x           x           x           x
   x x         o x         o x         o o         o o
  x o x   =>  x o x   =>  x 8 x   =>  x 8 x   =>  x 8 x
 o o o x     o o o x     o o o x     o o o x     o o x o
o 8 o o x   x 8 o o x   x o o o x   x o x o x   x o x o x

在第一步中，我们选择左下角的o。第一个x位于第二位。然后我们在＃12选择8，我们可以带回＃5。下排中间的o是下一个。我们将它与下一个错误放置的x在＃3交换。最后，我们交换＃9和＃10来获得最终的机架。路径与以前不同，但我们仍然以4个动作完成。

编辑：还有一点：在进行相邻交换时，应优先考虑那些最终未将两个球放在最终位置的交换。原因是这意味着总共需要至少两次移动，因此最好尽快进行第一次移动。

例如，问题中的机架可以通过两个动作解决：（2-4），（5,6）和（3-6），（12-13）。 8球首先被移动到最终位置，即使它被交换的白球尚未处于最终位置。如果首先完成两个周边交换（2-4），（12-13），你仍然需要两个动作才能到达最终的机架，总共进行次优的3次移动。

Answer 4

这一直是一个充满挑战，令人沮丧和有趣的问题。我猜想以下是最佳解决方案：

根据Patashu的奇偶校验方法选择条纹或实体是否在角落
无轮换
每次测量时，除了+3移动可以将8球放在中心位置之外，进行最高得分的移动
如果是领带，选择无关紧要？修改：请参阅底部的注释。关系很困难。

（我根据正确位置球的净差异得分移动。）

以下是两个示例机架：

    x            8
   x x          o o
  o o x        o o x
 o o x x      o x x x
8 o o o x    o x x o x

如果我们将位置1到15从左到右，然后从上到下，第一个机架编号解决方法为（2-4 / 3-5）（5-11）（10-13），第二个机架解为（4-8 / 11-12）（5-10）（1-5）。

我最近的一次证明尝试中有一部分只在11个不同的机架上失败，直到对称（上面显示的两个是失败的变体）。以下是我在尝试中发现的两个引理，希望能帮助其他人提供证据。

引理1：不需要旋转

请注意，如果我们需要在解决方案的某个时刻进行轮换，那么何时（旋转不会更改任何可用的交换）并不重要。此外，我们只需要最多一次旋转，因为顺时针旋转2次=逆时针旋转1次，反之亦然。

因此，如果需要，我们可以选择在最后一步中进行旋转。此时，由于外部的旋转对称性，外部必须是正确的。因此，8球将位于三个中心球之一。如果它在正确的位置，我们不需要轮换。否则，我们可以使用它，但注意交换也可以完成机架。因此，在最佳解决方案中没有必要。

引理2：贪婪是最佳的，如果它在3次移动中解决了架子

让策略A成为贪婪的解决方案，策略B是任何试图加快速度的非贪婪解决方案。 B必须至少进行一次非贪婪行动。必要时，这不是最后的举动。因此，如果A需要n次才能完成一个机架，B必须在n-2或更早的时候进行非贪婪的移动。这意味着，如果A在2圈或更少的时间内解决了机架，那么它是最佳的。

编辑：好吧，我只是在程序化测试中运行我的算法，发现它甚至不一致。事实上，似乎很难打破关系。考虑以下机架：

    x
   o o
  x o x
 x 8 o x
x o o x o

我的算法将执行以下移动序列之一：（5-8 / 13-14）（7-8 / 10-15），（5-8 / 10-15）（7-8 / 13-14）），（5-8 / 14-15）（10-13）（7-8），（5-8 / 14-15）（7-8）（10-13），（5-8 / 9-10））（14-15）（7-13），（5-8 / 9-10）（7-13）（14-15），（5-8 / 9-10）（13-14）（7-15）），或（5-8 / 9-10）（7-15）（13-14）。前两个在最优的2个时间测量中解决了它，但其他的在3个时间测量中解决了它。问题是（14-15）和（9-10）开关破坏了第二圈可能的+4移动。对该算法的修改可能需要预见，然后快速复杂化。我开始认为没有“简单”的解决方案，@ JeffreySax的解决方案就是要走的路。还要注意，这个机架也挫败了贪婪的解决方案。贪婪的解决方案可以做（13-14 / 10-15）（5-8）（7-8）或（13-14 / 10-15）（7-8）（5-8）。

Answer 5

萨卢特，首先我必须说这是一个非常有趣和有趣的问题，而且我在没有想到什么时候进行了比赛，尽管总共15个球，一些额外的动作并不重要。

根据货架描述和图片，我们得到以下规则：

角落总是相同类型
每边的中间总是与角落相同的类型
接触角落的每组2个球总是相同的类型（与角相反的类型）
内三角一直是8ball，条纹和实心（8球在上面）
在两侧，彼此靠近的球将始终交替类型

正如@ Lemma 1中所说的那样，旋转是不必要的，因为它们可以用交换代替，只要成本相同。如果你是拉比克的粉丝，并选择使用它们，你只需要一个。

在少于4次交换中无法解决！（总是）

你的示例图像最好证明这一点，无论你计算它是什么，你需要从他们的位置移除6个颜色球和8ball =＆gt;这是3½交换，因为交换需要2个球，让我们将其转换为4个交换这是为什么？因为它不符合所有规则：

[5,1,4] [2,6] [11,13] [10,12]不能彼此靠近（休息5）
8ball位于一边而不是中间三角形（中断4）
[5,4] [6,12] [13,9]不是同一类型（中断3），而且在[1,5,4]的情况下，该集合与角落不对（中断3）再次）
[2]和[11]与角落的类型不同（中断2）

算法

8ball spots
第一步：修复8球
将8ball交换到它的位置。无论如何它都需要在那里 这是旋转的唯一机会（如果8ball在内三角形中开始，但位置不正确）

Count红色位置相同类型的球最多 最高数量的球停留，其余的点必须换掉。

IF count is 3 {
    #inside triangle will choose 
    IF inside triangle has 2 of a kind, that type stays (in the red spots)
    ELSE pick random
}

开始交换：

做角落（挑选一个需要改变的球并在角落找到相反的球）
做中段（挑选一个需要改变的球，在一个中间找到一个相反的球）
如果完成了角落和中间，则最后一次交换位于内三角

示例演示：

swap 8 with 3  #move1
count[stripe]=3 [6,13,9]  
count[solid]=3 [5,4,12]
highest count=3, checking inside, inside is correct, random pick: stripes stay
Pick 5, corners() correct, swap with middles(2)  #move2
Pick 4, corners() correct, swap with middles(11)  #move3
Pick 12, corners() correct, swap with middles(3)  #move4
Done.

如果随机选择会选择固体保留：

Pick 6, swap with corners(10)  #move2
Pick 13, swap with corners(1)  #move3
Pick 9, swap with corners(14)  #move4
Done.

DEMO2：

用7改为3，用第15号球取代'白球8号' demo2_with_ball_15

swap 8 with 3  #move1
count[stripe]=3 [6,13,9]  
count[solid]=3 [5,4,12]
highest count=3, checking inside, inside has 2 of a kind(stripes) => stripes stay
Pick 5, corners() correct, swap with middles(2)  #move2
Pick 4, corners() correct, swap with middles(11)  #move3
Pick 12, corners() correct, swap with middles(15)  #move4
Done.

Have fun!

PS：您可能还希望算法变体＃2 counts灰色位置，但我发现现实场景更容易使用红点。

如何有效地为8球比赛提供台球？

5 个答案:

引理1：不需要旋转

引理2：贪婪是最佳的，如果它在3次移动中解决了架子

在少于4次交换中无法解决！（总是）

算法

示例演示：

DEMO2：

如何有效地为8球比赛提供台球？

5 个答案:

引理1：不需要旋转

引理2：贪婪是最佳的，如果它在3次移动中解决了架子

在少于4次交换中无法解决！ （总是）

算法

示例演示：

DEMO2：

在少于4次交换中无法解决！（总是）