Question

字典顺序生成

对于每个数k，0≤k<0。 ñ！以下算法生成相应的词典学初始序列的排列 sj，j = 1，...，n：

function permutation(k, s) {
     var int n:= length(s); factorial:= 1;
     for j= 2 to n- 1 {             // compute (n- 1)!
         factorial:= factorial* j;
     }
     for j= 1 to n- 1 {
         tempj:= (k/ factorial) mod (n+ 1- j);
         temps:= s[j+ tempj]
         for i= j+ tempj to j+ 1 step -1 {
             s[i]:= s[i- 1];      // shift the chain right
         }
         s[j]:= temps;
         factorial:= factorial/ (n- j);
     }
     return s;
 }

这背后的逻辑是什么？ 如何运作？

Answer 1

考虑一个多维数组，包含n个项目的所有排列，其维度为：

p[n][n-1][n-2]...[1]

任何多维数组都可以线性化为维度的1d数组：

a[n*(n-1)*(n-2)*...*1]

它就像一个可变基数;按数字顺序排列会给出数字上的字典顺序。

用于引用元组x [n] =的索引(i[n],i[n-1]...,i[0])为sum_j i[j]*(j!)

所以，除法/ mod正在从元组中恢复下一个位置。

元组中第k个索引的值是其右边的维度的乘积，恰好是k !.

Answer 2

想象一下，您有一个整数x，并且您想知道数百个位置中的数字。（例如，如果x = 4723，你想得到答案7.）为了计算这个，你首先除以100，丢掉小数部分。（在我们的例子中，这会留下47.）然后在除以10时找到余数。

现在假设您要在千位中找到数字的值。为了找到你首先除以1000，丢掉小数部分，然后在除以10时再次找到余数。

在常规十进制编号系统中，每个地方都包含10个值中的一个。您可以观察到，在我们的数字查找练习中，我们首先除以我们关心的位置右侧的值的可能组合的数量（在第一个示例中为10 * 10）。然后我们找到余数除以我们关心的地方的可能值的数量。当然，所有个地方都有10个可能的值，所以我们只需要除以10。

现在，想象一个编号系统，其中每个地方拥有不同数量的值。我们最右边的地方可以有两个值，0或1.下一个地方可以有三个值，0,1或2;等等。在这个系统中我们算是这样的：

这就是“变基数”所谓的争吵。

现在，您可以看到我们如何计算此系统中某个位置的数字。为了找到最右边的，我们不需要先划分，我们发现余数是模2，因为该列中的数字有2个可能的值。要找到左边的下一列，我们首先除以右边列中数字的可能组合数：只有一列有两个可能的数字，所以我们除以2.然后我们取余数模3，因为此列有三个可能的值。继续向左，对于第3列，我们除以6（因为右边的列各有3个和2个可能性，乘以6）然后取余数模4，因为此列中有4个可能的值。

让我们来看看这个函数：

function permutation(k, s) {
    var int n:= length(s); factorial:= 1;
    for j= 2 to n- 1 {             // compute (n- 1)!
        factorial:= factorial* j;
    }

factorial以（n-1）开头！

    for j= 1 to n- 1 {

每次我们到达这里，factorial等于（n-j）！这是第一次显而易见的，因为j = 1，我们知道我们将factorial初始化为（n-1）！我们稍后会看到factorial确实总是（n-j）！

        tempj:= (k/ factorial) mod (n+ 1- j);

这里我们将k除以factorial（等于（nj）！）然后扔掉剩余部分，然后当我们将结果除以（n + 1-j）时我们取剩）。等一下，我开始的所有唠叨开始听起来很熟悉！我们只是使用我们的“可变基数系统”从左边的第n列中找到“数字”的值！

下一位采用索引j和j + tempj之间的元素序列并向右旋转 - 即每个元素向上移动一个索引，除了最后一个索引，它将移回到开始。重要的是要意识到位置j右侧的所有数字都是有序的。我们正在有效地将其中一个拔出并推动其余部分以保持秩序。我们采摘的是哪一个取决于tempj。当tempj为0时，我们选择最小的（实际上不需要做任何推动），当tempj等于n-j时，我们选择最大的。

        temps:= s[j+ tempj]
        for i= j+ tempj to j+ 1 step -1 {
            s[i]:= s[i- 1];      // shift the chain right
        }
        s[j]:= temps;

接下来，（n-j）！除以（n-j）给出（n-j-1）！如果你考虑一下，你应该看到这意味着当我们回到循环顶部并且j增加1时，factorial将再次等于（nj）！

        factorial:= factorial/ (n- j);
    }
    return s;
}

我希望有所帮助！

Answer 3

假设您的初始序列为n = 6的[] = {1,2,3,4,5,6};你想生成第k个烫发。在Ist地方有1个，你可以产生5个！（即（n-1）！）烫发剩余的地方。

1 ,.......

然后u xchange 1和2再次你可以再次生成5！烫发。

2 ,.......

所以给出k的想法，我们需要找到k的范围。我的意思是：说k是225，多少5！ k有：245/5！ = 2 因此，如果k = 245，在我想要生成的排列中，第一位肯定是 3（即a [2]）（bcoz后2 * 5！= 240，我将x换1和3），我会有

3,1,2,4,5,6 (the array a[] obtained after shifting the chain)
(why we are shifting is to make the remaining array sorted for the 
  next iteration so that lexicographic order is maintained.)

这就是为什么在算法中，你做k /（n-1）！在第一次迭代中。并获得余数k = k mod（n-1）！。这是k的新值，你用（n-j）递归地做同样的事情！在其余的地方。

这个“词典顺序生成算法”如何工作？

3 个答案: