Question

考虑以下递归因子函数：

fact(n) =
    if (n = 0) return 1
    return n * fact(n - 1)

上述函数收敛于包括零的所有正整数。但是它不会收敛于负整数。

接下来，请考虑以下程序：

fact(n) =
    if (n < 0) return 0
    if (n = 0) return 1
    return n * fact(n - 1)

上述函数收敛于所有整数。

我想知道你将如何静态地确定递归函数是否收敛。

Answer 1

在一般情况下，你不能。这个问题恰恰是halting problem。

这是一个递归函数的简单示例，它可能以所有正输入结束，以尾递归方式编写（断言所有正n停止的是Collatz conjecture）：

stop(n, a=0) =
  if (n == 1) return a
  if (n % 2 == 0) return stop(n / 2, a + 1)
  return stop(3 * n + 1, a + 1)

Answer 2

这是一件好事，你没有指定一种语言，暗示你在考虑无界的整数，因为这意味着我可以指向this prototype analyzer for a toy language作为网络应用程序。

有了无限的整数，rici是对的，这是停滞不前的问题。但是，静态分析仪解决的大多数其他问题也等同于暂停问题。这并不妨碍所讨论的静态分析仪有用。他们通过接受假阴性，误报或两者兼而有之，解决了不可判断性问题。

如果您更喜欢使用类似C语法，您还可以使用Frama-C的值分析来确定whether a simple C program terminates。此分析器不处理递归函数，它将整数类型视为有界（它们是有界的）。有界整数类型在理论上使问题更容易（对于输入语言的某些定义，它变得可判定）但在实践中仍然很难。