如何编写程序来生成排序决策树？

Question

在课堂上，我们得到了一个简单的决策树，用于对3个元素（a，b，c）进行排序。

_{（来源：brpreiss.com）}

在看这个时，对我来说很有意义。我能够遵循它。

但是，我现在必须为4个元素（a，b，c，d）创建一个决策树，并且叶子的数量刚刚达到24个。

我正在努力以有条不紊的方式接近决策树，这有助于我跟踪我想要在每个分支进行比较的元素。

什么是有条不紊地接近构建更大决策树的方法？如果我知道如何，我甚至愿意写一个程序来吐出可能的叶子结构。

Answer 1

您可能希望查看S orting Networks。我认为应该可以将给定数量输入的最佳排序网络转换为决策树。

或者，您可以采用给定的排序算法并逐步完成，在每次比较时创建一个新的分支。

最后，您可以反向执行此操作 - 例如，通过采用合并排序类型方法：在树的底部布置所有24种可能的排序顺序。选择一个比较，并根据结果将叶子分成两组。对每个分支递归重复，直到每个分支只有一个叶子。

Answer 2

Charles Forgy描述了这种算法：见Rete algorithm。 （对不起，WP中的文章肯定不是一个快速的答案，但它可能是一个好的开始）

Answer 3

在这种情况下 的一种简单方法是扩展现有树。深度为3的树最多可以对2^3=8个不同的结果进行排序，这足以对3个元素进行排序，因为3! = 6和6 <= 8。要对4个元素进行排序，您至少需要深度5：4! <= 2^5。假设d，a和b已经按照您现有的网络进行了排序，我们可以构造两个最低的新级别来确定在何处插入c。

假设x，y和z已排序，因此x<y<z可以使用此网络以正确的位置添加新元素d位置：

// note: read from right to left
d<x<y<z -[yes]- (d<x)? -[yes]-- (d<y) -
x<d<y<z -[no]-/               /
x<y<d<z -[yes]- (d<z)? -[no]-/
x<y<z<d -[no]-/

因此，您基本上可以采用现有树，将其复制4次，并用上述子树替换每个当前叶子，在每种情况下都替换x，y和z在当前叶子中的顺序为a，b和c。

请注意，虽然这适用于您的特定情况，并且会产生最小的树，但在其他情况下追加子树以插入“下一个元素”不会产生最小高度的排序树。例如，要对a,b,c,d,e进行排序，最小高度应为7，分别为5! = 120和7^2 = 128。但是，将e放入已经排序的4个元素列表中的子树本身至少需要深度3（因为有5个可能的插入位置），因此我们可以轻松构建{{1 }}深度树，但需要另一种方法来构建有效的深度7树。

对于一般讨论，Nick's answer中有关排序网络的链接非常相​​关：您可以通过从左到右读取网络，为每个连接创建一个节点，然后在在这一点上，将网络的两个变体视为子代：一个已经进行了交换（例如5+3 = 8为假，所以现在交换了a<b和a），而另一个不需要（因为b）。排序决策树的深度是其排序网络的深度，根据该页面，虽然有 算法可以生成对数深度树/网络（AKS），但绝非易事