Question

divisor function是自然数的除数之和。

进行一些研究我发现this是一个非常好的方法，如果你想找到给定自然数N的除数函数，所以我试着用Python编写代码：

def divisor_function(n):
    "Returns the sum of divisors of n"
    checked = [False]*100000
    factors = prime_factors(n)
    sum_of_divisors = 1 # It's = 1 because it will be the result of a product
    for x in factors:
        if checked[x]:
            continue
        else:
            count = factors.count(x)
            tmp = (x**(count+1)-1)//(x-1)
            sum_of_divisors*=tmp
            checked[x]=True
    return sum_of_divisors

它工作得很好，但我确信它可以改进（例如：我创建一个包含100000元素的列表，但我没有使用大多数元素。）

您将如何改进/实施它？

P.S。这是prime_factors：

def prime_factors(n):
    "Returns all the prime factors of a positive integer"
    factors = []
    d = 2
    while (n > 1):
        while (n%d==0):
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1
        if (d*d>n):
            if (n>1): factors.append(int(n));
            break;
    return factors

Answer 1

计算除数之和时，需要 p ₁ ^{k < k < sub> 1} p ₂ ^{k ₂} ... - 也就是说，你需要分解中每个素数的指数。目前，您通过计算素数因子的平面列表来执行此操作，然后调用count来计算指数。这是浪费时间，因为您可以首先以您需要的格式轻松生成素数分解，如下所示：

def factorization(n):
    """
    Generate the prime factorization of n in the form of pairs (p, k)
    where the prime p appears k times in the factorization.

    >>> list(factorization(1))
    []
    >>> list(factorization(24))
    [(2, 3), (3, 1)]
    >>> list(factorization(1001))
    [(7, 1), (11, 1), (13, 1)]
    """
    p = 1
    while p * p < n:
        p += 1
        k = 0
        while n % p == 0:
            k += 1
            n //= p
        if k:
            yield p, k
    if n != 1:
        yield n, 1

上述代码注释：

我已经转换了这段代码，以便它生成分解，而不是构建一个列表（通过重复调用append）并返回它。在Python中，这种转换几乎总是一种改进，因为它允许您在生成元素时逐个使用它们，而不必将整个序列存储在内存中。
这是doctests效果良好的功能。

现在计算除数之和非常简单：不需要存储检查因子集或计算每个因子出现的次数。事实上，你可以只用一行：

from operator import mul

def sum_of_divisors(n):
    """
    Return the sum of divisors of n.

    >>> sum_of_divisors(1)
    1
    >>> sum_of_divisors(33550336) // 2
    33550336
    """
    return reduce(mul, ((p**(k+1)-1) // (p-1) for p, k in factorization(n)), 1)

Answer 2

您只需更改两行：

def divisor_function(n):
    "Returns the sum of divisors of n"
    checked = {}
    factors = prime_factors(n)
    sum_of_divisors = 1 # It's = 1 because it will be the result of a product
    for x in factors:
        if checked.get(x,False):
            continue
        else:
            count = factors.count(x)
            tmp = (x**(count+1)-1)//(x-1)
            sum_of_divisors*=tmp
            checked[x]=True
    return sum_of_divisors

Answer 3

为什么dict或set - 或count() - ，，当prime_factors()保证按升序返回因子时？您只处理之前的因素。计数只能是迭代的一部分：

def divisor_function(n):
    "Returns the sum of divisors of n"
    factors = prime_factors(n)
    sum_of_divisors = 1 
    count = 0; prev = 0;
    for x in factors:
        if x==prev:
            count += 1
        else:
            if prev: sum_of_divisors *= (prev**(count+1)-1)//(prev-1)
            count = 1; prev = x;
    if prev: sum_of_divisors *= (prev**(count+1)-1)//(prev-1)
    return sum_of_divisors

Answer 4

def sum_divisors(n):
    assert n > 0
    if n == 1:
        return 0
    sum = 1
    if n % 2 == 0:              # if n is even there is a need to go over even numbers
        i = 2
        while i < sqrt (n):
            if n % i == 0:
                sum = sum + i + (n//i)  # if i|n then n/i is an integer so we want to add it as well
            i = i + 1
        if type (sqrt (n)) == int:  # if sqrt(n)|n we would like to avoid adding it twice
            sum = sum + sqrt (n)
    else:
        i = 3
        while i < sqrt (n):     # this loop will only go over odd numbers since 2 is not a factor
            if n % i == 0:
                sum = sum + i + (n//i)  # if i|n then n/i is an integer so we want to add it as well
            i = i + 2
        if type (sqrt (n)) == int:  # if sqrt(n)|n we would like to avoid adding it twice
            sum = sum + sqrt (n)
    return sum

Answer 5

以下是我在Java数字实用程序（广泛用于Project Euler）中所做的事情：

使用显式指数生成素数因子化（参见Gareth Rees的答案）。
基于它展开各种功能中的素数因子分解。即，使用与素数因子分解相同的算法，但直接计算期望值而不是存储因子和指数。
默认情况下，只测试除数为2和奇数的除数。我有方法firstDivisor(n)和nextDivisor(n,d)。
（可选）为绑定下的所有数字预先计算最小除数的表。如果您需要将所有或大多数数字分解到界限之下（通过大约sqrt(limit)提高速度），这非常有用。我将表格挂钩到firstDivisor(n)和nextDivisor(n,d)方法中，因此这不会改变分解算法。

你将如何实现除数函数？

5 个答案: