如何计算知道半径和中心点的圆上的点

Question

我有一个复杂的问题，它涉及对我不自信的数学的理解。

一些轻微的背景可能有所帮助。我正在为儿童建立一个3D训练模拟器，它将使用WebGL在浏览器中运行。我正在尝试创建一个点网络来放置轨道资产（见图）并为列车移动提供参考。

为了帮助解释我的问题，我创建了一个可视化表示，因为我是一个可以编写脚本而不是程序员或数学家的设计师：

基本上，我有3个形状（图A，B和C），虽然它们有宽度，但可以表示为A和曲线（B＆amp; C）的直线。曲线B＆amp; C是从A得到的（弯曲修改的）所以长度（l）都是112.曲线（B＆amp; C）各自的半径（r）为285.5，它们弯曲的角度（a）是22.5°。

每个形状（A，B和C）都有一个注册点（起点），每个形状都附有绿色框的中心。

我要做的是创建一个从0,0开始的“轨道”网络（使用标准的笛卡尔坐标）。

我的问题是在曲线后放置下一个元素的位置。如果它是直线轨道那么没有问题，因为我可以使用长度作为沿y轴的恒定偏移，但这将是无聊的，所以我需要添加曲线。

图。 D.演示了一个可能的轨道布局示例，但请理解我不是在寻找静态答案（基于图像中所有位置的位置），我需要一个可以应用的公式，无论我如何配置轨道。

使用图D.我试图找出在第一个弯曲元件之后放置第二个弯曲元件的位置。我使用公式绘制了圆的圆周点，给出了圆心的中心坐标和半径（图E）。

我有点1，因为这只是设置直线长度（y位置）的情况。我可以很容易地计算圆的中心，因为这只是偏移的y位置，半径（r）的偏移（x位置）和角度（a）总是22.5°（顺便说一下，它被转换为Radians根据公式要求）。

通过公式后的值我没有得到正确的结果，因为公式假设我从3点开始逆时针工作所以我不得不从（a）中扣除180并将其转换为Radians到得到预期的结果。

这确实有效，如果我想创建一个180°的曲线，我可以使用相同的中心点，每次从角度减去22.5°。大。但我想要一个更加动态的轨道布局，如图。 D＆amp; E.

那么，我将如何进入图E中的工作点5，因为它代表了该曲线段的中心点？我根本不知道。

另外，作为一个额外的问题，这是正确的做法，还是我过于复杂的事情？

这个问题是阻止我构建游戏的唯一问题，你可以理解，这有点大，所以我感谢任何人提前做出的贡献。

Answer 1

在构建轨道时，要放置的下一条轨道的位置需要相对于轨道当前末端的位置和方向。

我会存储一个（x，y）位置和一个角度a来表示当前点（x，y从0开始，和a从pi / 2弧度开始，这对应于“逆时针3点钟”系统中的直线上升。

然后构建

fx = cos(a);
fy = sin(a);
lx = -sin(a);
ly = cos(a);

对应于“向前”和“向左”向量的x和y分量，相对于我们当前面向的方向。如果我们想将我们的位置向前移动一个单位，我们会将（x，y）增加（fx，fy）。

在您的情况下，放置直线部分轨道的规则是：

x=x+112*fx
y=y+112*fy

放置曲线的规则稍微复杂一些。对于向右转弯的曲线，我们需要向前移动112 * sin（22.5°），然后向右移动112 *（1-cos（22.5°），然后顺时针旋转22.5°。在代码中，

x=x+285.206*sin(22.5*pi/180)*fx // Move forward
y=y+285.206*sin(22.5*pi/180)*fy

x=x+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-lx) // Side-step right
y=y+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-ly)

a=a-22.5*pi/180 // Turn to face new direction

左转就像向右转，但是负角度。

要放置后续部分，只需再次运行此程序，使用现在更新后的{{1}值计算fx，fy，lx和ly然后根据接下来的轨道片段类型递增a和x。

您可以考虑另外一点;根据我的经验，如果你坚持做90°转弯或相当对称的布局，那么用这些碎片构建形成闭合环的轨道通常是有效的。但是，制作不完全连接的曲目非常容易，并且看到如何修改它们以允许它们加入并不明显。如果你的程序允许孩子们设计他们自己的布局，也可以记住一些事情。

Answer 2

点5与3的距离等于2，但方向相反。