在R中为什么阶乘（100）与prod（1：100）显示不同？

Question

在R中我发现了一些我无法解释的奇怪行为，我希望有人在这里。我相信100的价值！这是big number。

控制台中显示预期行为的几行......

>factorial( 10 )
[1] 3628800
>prod( 1:10 )
[1] 3628800
> prod( as.double(1:10) )
[1] 3628800
> cumprod( 1:10 )
[1]       1       2       6      24     120     720    5040   40320  362880 3628800

然而，当我尝试100！我明白了（注意结果数字在14位左右开始有差异）：

> options(scipen=200) #set so the whole number shows in the output
> factorial(100)
[1] 93326215443942248650123855988187884417589065162466533279019703073787172439798159584162769794613566466294295348586598751018383869128892469242002299597101203456
> prod(1:100)
[1] 93326215443944102188325606108575267240944254854960571509166910400407995064242937148632694030450512898042989296944474898258737204311236641477561877016501813248
> prod( as.double(1:100) )
[1] 93326215443944150965646704795953882578400970373184098831012889540582227238570431295066113089288327277825849664006524270554535976289719382852181865895959724032
> all.equal( prod(1:100) , factorial(100) , prod( as.double(1:100) ) )
[1] TRUE

如果我对一个设置为'已知'数字100的变量进行一些测试！然后我看到以下内容：

# This is (as far as I know) the 'true' value of 100!
> n<- as.double(93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000)
> factorial(100) - n
[1] -1902315522848807765998160811905210717565551993186466795054798772271710903343294674760811531554315419925519536152107160826913610179566298858520576
> prod(1:100) - n
[1] -48777321098687378615337456715518223527321845979140174232174327494146433419058837814379782860367062049372295798771978482741374619988879457910784
> prod(as.double(1:100)) - n
[1] 0

最终结果的计算结果为零，但prod( as.double( 1:100 ) )返回的数字并没有像我预期的那样显示，即使它正确评估prod( as.double( 1:100 ) ) - n n是一个变量设置为价值100！。

有人可以向我解释这种行为吗？据我所知，它应该与溢出等有关，因为我正在使用x64系统。版本和机器信息如下：

> .Machine$double.xmax
[1] 1.798e+308
> str( R.Version() )
List of 14
 $ platform      : chr "x86_64-apple-darwin9.8.0"
 $ arch          : chr "x86_64"
 $ os            : chr "darwin9.8.0"
 $ system        : chr "x86_64, darwin9.8.0"
 $ status        : chr ""
 $ major         : chr "2"
 $ minor         : chr "15.2"
 $ year          : chr "2012"
 $ month         : chr "10"
 $ day           : chr "26"
 $ svn rev       : chr "61015"
 $ language      : chr "R"
 $ version.string: chr "R version 2.15.2 (2012-10-26)"
 $ nickname      : chr "Trick or Treat"

任何人都可以向我解释这个吗？我不怀疑R做的一切都是正确的，这很可能与useR相关。你可能会指出，因为prod( as.double( 1:100 ) ) - n正确评估了我的烦恼，但我正在做Project Euler Problem 20所以我需要显示正确的数字。

由于

Answer 1

这不是double的最大值，而是精度。

100!有158个有效（十进制）数字。 IEEE double s（64位）具有52位的尾数存储空间，因此在超过大约16位十进制数字后会出现舍入错误。

顺便说一句，100!实际上是您所怀疑的，

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

所以计算出的所有值都不正确。

现在我不知道R，但似乎all.equal()在比较之前将所有这三个值转换为float s，因此它们的差异就会丢失。

Answer 2

使用all.equal进行的测试无法达到您的预期效果。 all.equal只能比较两个值。第三个参数在位置上与tolerance匹配，这给出了比较操作的容差。在你all.equal的调用中，你给它一个100!的容差，这肯定会导致比较对于荒谬的不同值是正确的：

> all.equal( 0, 1000000000, prod(as.double(1:100)) )
[1] TRUE

但即使你只给它两个参数，例如

all.equal( prod(1:100), factorial(100) )

它仍会产生TRUE，因为默认容差为.Machine$double.eps ^ 0.5，例如两个操作数必须匹配大约8位数，这绝对是这种情况。另一方面，如果您将容差设置为0，那么三种可能的组合在比较中都不会相同：

> all.equal( prod(1:100), factorial(100), tolerance=0.0 )
[1] "Mean relative difference: 1.986085e-14"
> all.equal( prod(1:100), prod( as.double(1:100) ), tolerance=0.0 )
[1] "Mean relative difference: 5.22654e-16"
> all.equal( prod(as.double(1:100)), factorial(100), tolerance=0.0 )
[1] "Mean relative difference: 2.038351e-14"

另请注意，仅仅因为您告诉R打印200个有效数字并不意味着它们都是正确的。实际上，1/2 ^ 53有大约53个十进制数字，但只有前16个被认为是有意义的。

这也使您与“真实”价值的比较存在缺陷。观察这一点。 R为factorial(100)提供的结尾数字是：

...01203456

您从中减去n，其中n是“真实”值100！所以它最后应该有24个零，因此差异也应该以{{1​​}}所做的相同数字结尾。但它的结尾是：

factorial(100)

这只表明所有这些数字都不重要，而且不应该真正查看它们的值。

需要525位的二进制精度才能准确表示100！ - 这是...58520576 精度的10倍。

Answer 3

我将添加第三个答案，以图形方式描述您遇到的行为。从本质上讲，因子计算的双精度足够高达22 !,然后它开始越来越偏离实际值。

在50！周围，两个方法factorial（x）和prod（1：x）之间有一个进一步的区别，后者产生，正如你所指出的，更接近于“真实”因素。

附加代码：

# Precision of factorial calculation (very important for the Fisher's Exact Test)
library(gmp)
perfectprecision<-list()
singleprecision<-c()
doubleprecision<-c()
for (x in 1:100){
    perfectprecision[x][[1]]<-factorialZ(x)
    singleprecision<-c(singleprecision,factorial(x))
    doubleprecision<-c(doubleprecision,prod(1:x))
}


plot(0,col="white",xlim=c(1,100),ylim=c(0,log10(abs(doubleprecision[100]-singleprecision[100])+1)),
        ,ylab="Log10 Absolute Difference from Big Integer",xlab="x!")
for(x in 1:100) {
    points(x,log10(abs(perfectprecision[x][[1]]-singleprecision[x])+1),pch=16,col="blue")
    points(x,log10(abs(perfectprecision[x][[1]]-doubleprecision[x])+1),pch=20,col="red")
}
legend("topleft",col=c("blue","red"),legend=c("factorial(x)","prod(1:x)"),pch=c(16,20))

Answer 4

嗯，您可以从factorial的正文中看出它调用gamma，调用.Primitive("gamma")。 .Primitive("gamma")看起来像什么？ Like this

对于大型输入，.Primitive("gamma")的行为位于该代码的line 198上。它正在致电

exp((y - 0.5) * log(y) - y + M_LN_SQRT_2PI +
            ((2*y == (int)2*y)? stirlerr(y) : lgammacor(y)));

是just an approximation。

顺便说一下，the article on Rmpfr使用factorial作为示例。因此，如果您正在尝试解决问题，请立即使用Rmpfr库＆＃34;。