最紧密的锥体适合一组方向

Question

给出3D中的一组单位方向 d_1，...，d_n ，

如何找到它们周围最紧的锥形？

E.g。如何找到另一个单位向量 m ，以及表示角度的标量值 alpha ，以便：

foreach i，AngleBetween（ m ， d_i ）＆lt; alpha

和 alpha 是最低的。

注意补充：方向可以跨越半个空间。在具有“锥形”的这种情况下，我们指的是从锥形顶点开始并且在距锥形轴的给定角度内的半线组。

Answer 1

如果你的方向组都在原点的一半空间内，那么你可以计算单位半径球面上矢量尖端的凸包，这会在该球体上产生一个凸多边形，然后找到最小的圆包围那个多边形。您可以通过投影到合适的平面来避免球面计算。

我意识到这是一个抽象的观点，你可能需要更具体的建议，但它仍然可能会有所帮助：凸面船体+最小限制圈。

如果你的方向超过半空间，那么你需要在这种情况下定义“锥形”的含义。

Answer 2

这是线性编程问题。

找到一个，p最大化cos（a）受制于：
px * d1x + py * d1y * pz * d1z> = cos（a）
px * d2x + py * d2y * pz * d2z> = cos（a）
...
px * dnx + py * dny * pz * dnz＆gt; = cos（a）

我会研究LP算法。与此同时，我已经解决了一个非常类似的问题，可能是一个跳跃点：https://github.com/VictorDavis/GeoConvexHull。你是对的，一旦找到凸包，你就可以找到最小的外接圆。事实证明，证明同一半球中的n个点是非平凡的。也许这个算法可以定制，以回答你的“最小锥”问题。