使用双精度浮点精确到2 ^ 53实现整数乘法吗？

Question

我问，因为我正在计算矩阵乘法，其中所有矩阵值都是整数。

我想使用LAPACK，以便获得正确的快速代码。将两个大整数（其乘积小于2^53）存储为double时，如果相乘，会产生包含精确整数结果的double吗？

Answer 1

您的分析是正确的：

• -2 ⁵³ 和2 ⁵³ 之间的所有整数都可以用双精度表示。
• IEEE754标准要求精确执行计算，然后四舍五入到最接近的可表示数字。

因此，两个值的乘积等于该范围内的整数将完全表示。

参考：What every computer scientist should know about floating-point arithmetic。关键部分是IEEE标准与操作有关的讨论。这包含上面第二个要点的陈述。你已经知道了第一个要点，这是完成论证的第二点。

Answer 2

是的！双精度数据被分为符号，指数和分数：

Wikipedia has an article explaining the ranges of representable numbers

  

     

-2 ^ 53和2 ^ 53之间的所有整数都可以双精度表示。

     

在2 ^ 52 = 4,503,599,627,370,496和2 ^ 53 = 9,007,199,254,740,992之间，可表示的数字正好是整数。对于下一个范围，从2 ^ 53到2 ^ 54，一切都乘以2，因此可表示的数字是偶数，等等。相反，对于之前的范围从2 ^ 51到2 ^ 52，间距是0.5等等。