圆圈中2个点之间的距离

Question

我在圈内得到2分。我必须在圆上找到一个点（不是在内部，而不是在外面），以便给定的2点和我发现的点之间的距离之和最小。我只需要找到最小距离，而不是点的位置。

Answer 1

这是minimization problem：

minimize sqrt((x1-x0)^2 + (y1-y0)^2) +  sqrt((x2-x0)^2 + (y2-y0)^2)
             ^                                         ^
     (distance from point1)                (distance from point 2)

subject to constraints:
x1 = C1
y1 = C2
x2 = C3
x4 = C4
x0^2 + y0^2 = r^2 
(assuming the coordinates are already aligned to the center of the circle as (0,0)).
(C1,C2,C3,C4,r) are given constants, just need to assign them.

在分配x1，y1，x2，y2之后 - 给出了2个变量（x0，y0）和约束的最小化问题。 可以使用lagrange multiplier 解决最小化问题。

Answer 2

设（x1，y1）和（x2，y2）是圆内的点，（x，y）是圆上的点，r是圆的半径。 您的问题会缩小为拉格朗日条件极值问题，即：

极值函数：

f(x, y) = sqrt((x-x1)^2 + (y-y1)^2) + sqrt((x-x2)^2 + (y-y2)^2)

条件：

g(x, y) = x^2 + y^2 = r^2  (1)

介绍辅助功能（reference）：

Λ（x，y，λ）= f（x，y）+λ（g（x，y） - r ^ 2）

设∂Λ/∂x= 0，我们有：

(x-x1)/sqrt((x-x1)^2 + (y-y1)^2) + (x-x2)/sqrt((x-x2)^2 + (y-y2)^2) + 2λx = 0 (2)

让∂Λ/∂y= 0，我们有：

(y-y1)/sqrt((x-x1)^2 + (y-y1)^2) + (y-y2)/sqrt((x-x2)^2 + (y-y2)^2) + 2λy = 0 (3)

现在我们有3个变量（即x，y和λ）和3个方程（即（1），（2）和（3）），所以它是可以解决的。

请注意，应该有两种解决方案（除非两个内部点恰好是圆圈的中心）。一个是最小值（这是你需要的），另一个是最大值（将被忽略）。

Answer 3

只是另一种方法（更直接）：

为简单起见，假设圆为（0,0），半径为r 并假设两个点是P1（x1，y1）和P2（x2，y2）

我们可以计算这两个点的极角，假设它们是alpha1和alpha2 显然，圆上的点与P1和P2的最小距离之和在由alpha1和alpha2组成的圆形扇区内

同时，该扇区内圆上的点与P1和P2之间的距离之和是二次函数。因此，使用三分法可以找到最小距离。