如何有效地迭代恒定总和的数组组合？

Question

我有一个数组，其长度为X。数组的每个元素都有范围1 .. L。我想有效地迭代所有具有总和L的数组合。

正确的解决方案：L = 4且X = 2

1 3
3 1
2 2

正确的解决方案：L = 5且X = 3

1 1 3
1 3 1
3 1 1
1 2 2
2 1 2
2 2 1

天真的实现（难怪）对我的问题来说太慢了（在我的情况下X最多为8，L最多为128）。

有人能告诉我这个问题是如何调用的，或者在哪里找到问题的快速算法？

谢谢！

Answer 1

如果我理解正确，你会得到两个数字1≤ X ≤ L 你想要生成长度为 X <的所有正整数序列/ em>总和为 L 。

（注意：这类似于integer partition problem，但不一样，因为您认为1,2,2是与2,1,2不同的序列，而在整数分区问题中我们忽略顺序，以便这些被认为是相同的分区。）

您要查找的序列对应于 X 的combinations - L 中的1项 - 1.因为，如果我们输入数字按顺序1到 L - 1，并选择 X - 其中1个，然后所选数字之间的间隔长度为正整数，总和为 L < / em>的

例如，假设 L 为16且 X 为5.然后选择1到15之间的4个数字：

在开头添加0，在结尾添加16，间隔为：

根据需要

和3 + 4 + 1 + 6 + 2 = 16.

X 的generate the combinations - L - 1中的1项，并且对于每一项，通过查找间隔将其转换为分区。例如，在Python中你可以写：

from itertools import combinations

def partitions(n, t):
    """
    Generate the sequences of `n` positive integers that sum to `t`.
    """
    assert(1 <= n <= t)
    def intervals(c):
        last = 0
        for i in c:
            yield i - last
            last = i
        yield t - last
    for c in combinations(range(1, t), n - 1):
        yield tuple(intervals(c))

>>> list(partitions(2, 4))
[(1, 3), (2, 2), (3, 1)]
>>> list(partitions(3, 5))
[(1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1)]

有（ L - 1）！ /（ X - 1）！（ L - X ）！ X 的组合 - L - 1中的1项，因此该算法的运行时间（及其输出的大小）在 L 。但是，如果不计算输出，则只需要O（ L ）空间。

L = 128且 X = 8，有89,356,415,775个分区，所以输出它们需要一段时间！

（也许如果你解释为什么要计算这些分区，我们或许可以建议一些满足你需求的方法，而不必实际生成它们。）