Question

我正在尝试使用Mathematica解决以下问题：

通过算术运算{2,3,4,5,6,7,8}，取幂和括号从集合{+,-,*,/}无法获得的最小正整数是多少。集合中的每个数字必须只使用一次。不允许一元操作（例如，1不能转换为-1而不使用0）。

例如，号码1073741824000000000000000可通过(((3+2)*(5+4))/6)^(8+7)获得。

我是Mathematica的初学者。我编写的代码我认为解决了集合{2,3,4,5,6,7}的问题（我获得了2249作为我的答案），但我的代码效率不足以使用集合{2,3,4,5,6,7,8}。（我的代码在集合{2,3,4,5,6,7}上运行需要71秒）

我非常感谢使用Mathematica解决这个难题的任何提示或解决方案，或者我如何加速现有代码的一般见解。

我现有的代码使用暴力，递归方法：

（*这定义了一组1号的组合作为该1号的集合*）

combinations[list_ /; Length[list] == 1] := list

（*这测试是否可以对两个数字进行取幂，包括（有些）任意限制以防止溢出*）

oktoexponent[number1_, number2_] :=

 If[number1 == 0, number2 >= 0,
  If[number1 < 0,
   (-number1)^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2],
   number1^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2]]]

（*这需要一个列表并删除分母大于100000 *的分数）

cleanup[list_] := Select[list, Denominator[#] < 100000 &]

（*这定义了一组2个数字的组合 - 并返回一组通过应用程序获得的所有可能的数字+ - * /由oktoexponent和清理规则过滤*）

combinations[list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 2] :=
  cleanup[DeleteCases[#, Null] &@DeleteDuplicates@
    {list[[1]] + list[[2]],
     list[[1]] - list[[2]],
     list[[2]] - list[[1]],
     list[[1]]*list[[2]],
     If[oktoexponent[list[[1]], list[[2]]], list[[1]]^list[[2]],],
     If[oktoexponent[list[[2]], list[[1]]], list[[2]]^list[[1]],],
     If[list[[2]] != 0, list[[1]]/list[[2]],],
     If[list[[1]] != 0, list[[2]]/list[[1]],]}]

（*这扩展了组合以处理集合集*）

combinations[
  list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 3] := 
 Module[{m, n, list1, list2},
  list1 = list[[1]];
  list2 = list[[2]];
  m = Length[list1]; n = Length[list2];
  cleanup[
   DeleteDuplicates@
    Flatten@Table[
      combinations[{list1[[i]], list2[[j]]}], {i, m}, {j, n}]]]

（*对于给定的集合，分区将所有分区的集合返回到两个非空子集*）

partition[list_] := Module[{subsets},
  subsets = Select[Subsets[list], # != {} && # != list &]; 
  DeleteDuplicates@
   Table[Sort@{subsets[[i]], Complement[list, subsets[[i]]]}, {i, 
     Length[subsets]}]]

（*最终将组合扩展为适用于任何大小的集合*）

combinations[list_ /; Length[list] > 2] := 
 Module[{partitions, k},
  partitions = partition[list];
  k = Length[partitions]; 
  cleanup[Sort@
    DeleteDuplicates@
     Flatten@(combinations /@ 
        Table[{combinations[partitions[[i]][[1]]], 
          combinations[partitions[[i]][[2]]]}, {i, k}])]]

Timing[desiredset = combinations[{2, 3, 4, 5, 6, 7}];]

{71.5454, Null}

Complement[
   Range[1, 3000], #] &@(Cases[#, x_Integer /; x > 0 && x <= 3000] &@
   desiredset)

{2249, 2258, 2327, 2509, 2517, 2654, 2789, 2817, 2841, 2857, 2990, 2998}

Answer 1

这是无益的，但今天我的无用bab呀学语的配额不足：

(* it turns out the symbolizing + * is not that useful after all *) 
f[x_,y_] = x+y 
fm[x_,y_] = x-y 
g[x_,y_] = x*y 
gd[x_,y_] = x/y 

(* power properties *) 
h[h[a_,b_],c_] = h[a,b*c] 
h[a_/b_,n_] = h[a,n]/h[b,n] 
h[1,n_] = 1 

(* expand simple powers only! *) 
(* does this make things worse? *) 
h[a_,2] = a*a 
h[a_,3] = a*a*a 

(* all symbols for two numbers *) 
allsyms[x_,y_] := allsyms[x,y] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[{f[x,y], fm[x,y], fm[y,x],  
 g[x,y], gd[x,y], gd[y,x], h[x,y], h[y,x]}]] 

allsymops[s_,t_] := allsymops[s,t] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[Outer[allsyms[#1,#2]&,s,t]]] 

Clear[reach]; 
reach[{}] = {} 
reach[{n_}] := reach[n] = {n} 
reach[s_] := reach[s] = DeleteDuplicates[Flatten[ 
 Table[allsymops[reach[i],reach[Complement[s,i]]],  
  {i,Complement[Subsets[s],{ {},s}]}]]]

这里的一般想法是避免计算权力（这是昂贵且不可交换），同时使用加法/乘法的交换性/相关性以减少达到基数[]。

以上代码也可在以下网址获得：

https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/playground.m#L20

以及其他无用的代码，数据和幽默的字面意义。

Answer 2

我认为你的问题的答案在命令Groupings中。这允许您创建列表的二叉树。二进制树非常有用，因为您允许的每个操作Plus, Subtract, Times, Divide, Power都有两个参数。例如。

In>  Groupings[3,2]
Out> {List[List[1,2],3],List[1,List[2,3]]}

因此，我们需要做的就是用允许操作的任意组合替换List。

然而，Groupings似乎是全能的，因为它可以选择这样做。想象一下，您有两个函数foo和bar，并且都有2个参数，那么您可以将所有组合设为：

In>  Groupings[3,{foo->2,bar->2}]
Out> {foo[foo[1,2],3],foo[1,foo[2,3]],foo[bar[1,2],3],foo[1,bar[2,3]],
      bar[foo[1,2],3],bar[1,foo[2,3]],bar[bar[1,2],3],bar[1,bar[2,3]]}

现在可以计算我们的组合数量：

In>  Groupings[Permutations[#],
               {Plus->2,Subtract->2,Times->2,Divide->2,Power->2}
              ] &@ {a,b,c,d,e};
In>  Length@%
In>  DeleteDuplicates@%%
In>  Length@%
Out> 1050000
Out>  219352

这意味着对于5个不同的数字，我们有219352个独特的组合。

可悲的是，由于溢出，除零或下溢，许多这些组合无法评估。但是，要删除哪些是不明显的。价值a^(b^(c^(d^e)))可能很大，或者很小。分数幂可以导致完美的根源，大数量的分裂可以变得完美。

In>  Groupings[Permutations[#],
               {Plus->2,Subtract->2,Times->2,Divide->2,Power->2}
              ] &@ {2, 3, 4};
In>  Union[Cases[%, _?(IntegerQ[#] && # >= 0 &)]];
In>  Split[%, #2 - #1 <= 1 &][[1]]
Out> {1, 2, 3, 4, 5, 6}

无法从{2,3,4,5,6,7,8}获得的最小整数（Mathematica）

2 个答案: