在测试“大于”时考虑浮点不精确

Question

假设我想检查两个数字a和b是否相等。由于浮点不精确，我知道不是简单地检查a == b，而是通常想要选择一些小号eps，而是检查abs(a - b) < eps。

但是，如果我想在检查a > b时考虑浮点错误，该怎么办？我猜这不是简单的

if (a > b) {
  ...
}

我想做类似的事情：

if ((a > b) || abs(a - b) < eps) {
  ...
}

这是对的吗？如何检查a是否“大于”b？

Answer 1

您正在询问如何从错误输入（某些值中包含错误的值）计算正确的结果（一个值是否大于另一个值）。显然，这通常是不可能的：错误的输入会产生错误的输出。但是，在某些特定情况下，我们可以挽救一些东西。以下讨论一种情况。

假设您计算了一些a和b近似理想值 a 和 b ，其中 a 和 b 是使用精确数学进行计算时的结果。还假设我们知道错误界限 e _a 和 e _b ，以便 a - e _a ≤a≤ a + e _a 和 a - e _b ≤b≤ b + e _{b < /子>} 的。换句话说，计算出的a和b分别位于 a 和 b 周围的某些区间内。 （根据所执行的操作，错误可能会导致a或b处于某些未连接的间隔，甚至可能不包含 a 或 b < / em>。但我们会假设你有“表现良好”的错误。）

在这种情况下，如果a - e _a ＆gt; b + e _b ，然后您可以确定 a ＆gt; B'/ em>的

但是，假设您测试此条件并返回true（如果有）。然后，只要返回true，您就会知道 a ＆gt; B'/ em>的。但是，当它返回false时，您将无法确定 a ＆gt; b 是假的。因此，如果您希望在某些 a ＆gt;时执行某些操作 ，则此测试很有用。 B'/ em>的。但是，这会导致您在某些情况下错过执行操作 a ＆gt; B'/ em>的

假设您不想错过任何这些案例。然后考虑条件a + e _a ＆gt; b - e _b 。如果 a ＆gt; b ，那么这个条件必须为真。因此，如果您测试此条件并在其保持时执行所需操作，则 a ＆gt;时将执行始终操作。 B'/ em>的。但是，当 a ＆gt;不正确时，也可能会执行某些操作。 B'/ em>的

这表明您可以做出选择。如果计算中有错误，有时您的应用程序会做错误的事情。你必须选择：

• 当 a ＆gt;错误时，您的应用程序执行操作的可接受程度如何 B'/ em>的。它总是可接受/不可接受，还是取决于 与 b 的接近程度？
• 如果 a ＆gt;属于您的应用程序不执行操作的可接受程度 B'/ em>的。它总是可接受/不可接受，还是取决于 与 b 的接近程度？

如果您能找到一些令人满意的折衷方案，那么您可以将条件设​​置为某个中间级别，并测试条件a-b > e，对于位于 - e e > a - e _b 和+ e _a + e _b ，包括在内。如果您找不到令人满意的折衷方案，那么您需要改进a和b的计算以减少错误，或者您需要以某种方式重新设计您的程序。

注意：此方案中的最终测试为a-b > e而非a > b+e，因为计算b+e时可能会出现小的舍入误差。计算a-b时可能还存在舍入误差，但仅当a和b彼此不相近时，在这种情况下，即使使用舍入，差异也远大于{{ 1}}（除非你的错误间隔很恶劣）。在我们关心精确度的情况下，当e靠近a时，b的计算是准确的。