Question

我无法解决一个问题，包括从集合中选择项目。

我有一个项目集合，每个项目有三个功能，比如说X，Y和Z都有双重值

我有一些目标：

1）达到所选项目所有X值之和的特定下限。

2）达到所选项目所有Y值之和的特定下限。

3）达到所选项目所有Z值平均值的特定下限。

4）尽量减少仍然符合上述要求的项目数量。

我不确定要尝试什么类型的优化算法，任何正确方向的指针都会受到赞赏。如果可能的话，我想以某种方式优先考虑我的目标并使我的界限“柔和”，即使它们不能一致地完成仍然会返回“近距离”选择。

Answer 1

听起来像是模拟退火

http://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing

在这个问题上可以很好地工作。

只需使用合适的软化目标函数（即惩罚你拥有的4个目标中的每一个），然后开始退火。

一些术语：这绝对不是线性编程，因为你的变量是二进制的（即包括这个项目）。

如果您的目标函数足够好，您可以使用贪心算法来快速获得合理的结果

Answer 2

您所描述的问题类似于背包问题。在背包问题中，你有一定大小的特定包和一定大小且具有一定价值的物品。然后，您希望在不超过大小的同时最大化该值。

但是，您的问题有点不同。我会将其表示为最小化X，Y和Z值的总和以及最小化项目数量，并对表示下限的X，Y和Z设置约束。通过这个定义，您可以看到您的问题实际上是多目标的（我假设这些目标中的一些是冲突的，例如具有可行空间的项目的最小化）。您必须编写的函数称为适应度函数，用于计算特定选择的质量。要处理约束，您可以使用您返回的惩罚作为适应度，或者如果您可以处理算法中的约束，则指定约束违规程度。

我会使用启发式方法来解决这个问题。为此，我们需要选择问题解决方案的表示（数据结构）。

在背包中你可以选择二进制表示。这意味着对于每个项目，您在二进制向量中都有一个维度，如果包含它则为1，否则为0。向量的长度等于项目数。

对于求解器，存在许多用于这种表示的元启发式。但最接近的选择可能是遗传算法，它是在考虑二进制编码的情况下开发的。如果您想以多目标方式解决问题，我会选择NSGA-II或SPEA2作为算法。如果您将目标采用加权和方法或其他方法组合成单个值，John Holland定义的标准遗传算法就足够了。多目标算法具有以下优点：它们探索所有非支配解决方案的帕累托前沿，例如导致X更大的解决方案，但Y和Z不如其他解决方案，例如， X，Y和Z最小，但项目数较多。

已经提到的模拟退火算法是另一种解决此类问题的元启发式算法。但先验的是，目前还不能确定哪种方法会更好。但是，如果您事先不知道适合度值的范围，则模拟退火有点难以配置，因为您需要初始温度和适合此范围的冷却计划。

您还可以选择更简单的构造启发式方法，例如：以贪婪的方式工作（例如，总是把具有最大X，Y和Z的项目放在正下方或达到界限。但我认为元启发式会找到更好的解决方案。

Answer 3

您的问题可以使用混合整数问题进行建模。如果您的集合不是太大（比如几百个值），我会使用这个模型，因为在标准的lp文件中编写它比编写和参数化启发式更容易。

您可以将此问题提供给混合整数问题解算器：

COIN-OR（免费），
Cplex（商业和扩展，除非你是学者），
Gurobi（商业），
GLPK（免费但很慢）......

我在下面用伪数学语言编写了两个模型（注意这不是LP格式）。

硬边界

设N是对象的集合，X_min和Y_min是你需要到达的下界，ZZ是Z值的平均下界。我使用二进制变量s_i，如果选择了对象i，则其值为1，否则为0。确切的问题可以写成：

Minimize sum_{i in N} s_i
Subject to:
      sum_{i in N} X_i s_i >= X_min
      sum_{i in N} Y_i s_i >= Y_min
      sum_{i in N} (Z_i - ZZ) s_i >= 0
      foreach i in N, s_i in {0, 1}

多目标

请注意，正如Andreas的回答所述，还有其他方法可以做到这一点。这个方法更容易（在我看来）优先考虑你的目标并“放松”问题，你可以使用上面的线性求解器。

添加三个松弛变量dX，dY，dZ和三个（正）权重系数wX，wY，wZ。变量dX，dY和dZ将表示约束违规，“权重”表示您对约束违规的重要性。

然后你可以把问题写成：

Minimize sum_{i in N} s_i + wX dX + wY dY + wZ dZ
Subject to:
      dX >= sum_{i in N} X_i s_i - X_min
      dY >= sum_{i in N} Y_i s_i - Y_min
      dZ >= sum_{i in N} (Z_i - ZZ) s_i
      foreach i in N, s_i in {0, 1}
      dX, dY, dZ >= 0

然后，您可以参数化wX，wY和wZ以优先考虑您的目标：例如，对于较大的权重值，模型将返回“硬边界”解决方案（如果存在）;然后，具有较高权重的约束“不太可能”被违反（当然不是那么简单，只是为了给出一个想法）。

从一组项目中选择以满足特定功能目标的优化

3 个答案:

硬边界

多目标