如何计算任意功率/根？

Question

我有一个应用程序需要将一个数字提升到一个分数幂。目标平台是一个FPGA，我可以得到它的FPU大小的估计，但我需要一个算法，只是为了可行性研究将数字提高到一个分数功率。我假设浮动点是最坏的情况，我希望在实践中我们能够使用捷径，但是现在我想表明我们可以实施最坏的情况。

以为我会问这里，看看是否有任何常见的方法可以结账。我知道有这样做的软件方法，我想要一个合理有效的算法开始。我会担心FPGA的实现。

Answer 1

您的输入范围是任意的，还是在一定范围内已知？

在任何一种情况下，x ^m = exp（m log x），所以如果你可以创建函数来评估exp（x）和log（x）并且有一个乘法，你可能搞定。

您必须弄清楚如何处理x的非正值。

（提示log（x）：如果这是IEEE-754 floating point，则根据需要移位有效数字，直到最终得到2 ^k 和2 ^{k之间的数字范围+1} 表示某个值K.这可以让你处理2：1的范围，这个范围不太难以用多项式逼近。那么你只需要少量的可能来处理指数和转移数

exp（x）的对应提示：写x = k + b其中0 <= b

（提示＃2：对于x ^m = g（mf（x）），数字可能更好，其中f（x）= log ₂ x和g （x）= 2 ^x 。）

Answer 2

正如Jason S所说，这是使用身份x ^m = exp（m log x）完成的。但实际上，您必须处理截断错误。 我认为通常这样做的方式是

1. 使用此标识：x ^m =（2 ⁿ * x / 2 ⁿ ） ^m = 2 ^nm *（x / 2 ⁿ ） ^m 并找到整数n，使得1 <= x / 2 ⁿ ＆lt; 2。
2. 计算t = log2（x / 2 ⁿ ）。这可以使用足够高度的泰勒展开，或使用良好的'Newton-Raphson'来完成。您必须确保区间内的最大误差[1,2 [对您来说不是太大。
3. 计算u = nm + tm。
4. 我们的目标是计算2 ^u 。使用2 ^u = 2 ^v * 2 ^u-v 的事实，并找到整数v，使得0 <= u-v <1。 1。
5. 再次使用我们的朋友Taylor或Newton-Raphson计算w = 2 ^u-v 。感兴趣的间隔是0 <= u-v <0。 1。
6. 你的答案现在是2 ^v * w。