procedure bit count(S: bit string)
count := 0
while S != 0
count := count + 1
S := S ∧ (S − 1)
return count {count is the number of 1s in S}
这里S-1是通过将S的最右边的1位改为0而将其右边的所有0位改为1来获得的位串。
所以我理解为什么这是正确的，我已经写了一个粗略的解释;
在每次迭代之后，S中最右边的1位以及它右边的所有位都设置为0.因此，在每次迭代之后，下一个最右边的1被计算并设置为0，直到整个字符串为0并且循环中断，计数等于1的数量。
我知道这种答案在任何数学界都没有通过，所以我希望写一份正式的证据，但我不知道如何去做。我的证明技巧特别粗制滥造，所以对所涉及的技术的解释将非常感激。
答案 0 :(得分：1)
使用归纳的证明可能如下所示：
声明：在算法的n次迭代开始时，您已看到（翻转）n-1 1（设置）位和count == n-1
<强>证明：
基础： n==1的微不足道，在第一次迭代中 - 您还没有看到任何设置位，并且count设置为0 ..
假设：对于每个k<n（对于某些n），声明都是正确的。
n 的证明：第n次迭代之后是n-1次迭代。在n-1迭代中，从归纳假设中您已经看到n-1位和count == n-1。
由于您到达n次迭代，n-1迭代成功结束 - 因此未满足结束条件，因此存在翻转位。您还将count增加了一个，因此在n步骤中您翻转了n位和count == n。
从上面我们可以得出结论，当算法结束时，count == #flipped_bits。
<强> QED
请注意，以上是部分正确性 - 它证明如果算法终止 - 它会产生正确的答案，但它不保证终止。
保证终止可以通过显示最多|S|步骤来完成，因为您最多可以翻转最快|S|次，直到获得S = 0。 （终止+部分正确性称为完全正确性）
如果您对证明算法感兴趣，可能会对 Hoare Logic 感兴趣，这提供了一个正式的工具，如何验证程序是否正确。该研究领域称为Software Verification。
答案 1 :(得分：0)
首先，它不正确。您需要 while S != 0，而不是while S = 0。
至于证明，我使用归纳证明：如果没有设置位，证明它能正常工作，然后证明如果至少有一个位置位，它会增加计数，减少位数由一个设置，并重复。
在归纳步骤中，唯一困难的部分是显示在S := S ∧ (S − 1)之后，在S中设置的位数将精确地减少1.主要部分是对于任何数量N的表单10..0，N-1的格式为01..1 - 这是二进制计数的基本特性。我可能反过来做 - 显示任何数字：01..1，下一个连续数字是10..0，基本上归结为：“1 + 1 - ＆gt; 0 + carry`。