Python：精确定位斜率的线性部分

Question

我有几个如下图：

我想知道在x轴上找到大约5.5到8之间的斜率可能有什么样的方法。如果有这样的几个图，我更想知道是否有办法自动找到斜率值。

有什么建议吗？

我在想ployfit（），或者是线性回归。问题是我不确定如何自动找到值。

Answer 1

在数据集中查找线性部分的一般方法是计算函数的二阶导数，并查看它的位置（接近）为零。在解决方案的路上需要考虑几件事情：

• 如何计算噪声数据的二阶导数？一种快速简单的方法，可以很容易地适应不同的噪声水平，数据集大小和线性贴片的预期长度，是将数据卷积为等于高斯二阶导数的卷积核。可调部分是内核的宽度。

• “接近零”在您的上下文中意味着什么？要回答这个问题，您必须试验数据。

• 此方法的结果可用作上述chi ^ 2方法的输入，以识别数据集中的候选区域。

这里有一些可以帮助您入门的源代码：

from matplotlib import pyplot as plt

import numpy as np

# create theoretical data
x_a = np.linspace(-8,0, 60)
y_a = np.sin(x_a)
x_b = np.linspace(0,4,30)[1:]
y_b = x_b[:]
x_c = np.linspace(4,6,15)[1:]
y_c = np.sin((x_c - 4)/4*np.pi)/np.pi*4. + 4
x_d = np.linspace(6,14,120)[1:]
y_d = np.zeros(len(x_d)) + 4 + (4/np.pi)

x = np.concatenate((x_a, x_b, x_c, x_d))
y = np.concatenate((y_a, y_b, y_c, y_d))


# make noisy data from theoretical data
y_n = y + np.random.normal(0, 0.27, len(x))

# create convolution kernel for calculating
# the smoothed second order derivative
smooth_width = 59
x1 = np.linspace(-3,3,smooth_width)
norm = np.sum(np.exp(-x1**2)) * (x1[1]-x1[0]) # ad hoc normalization
y1 = (4*x1**2 - 2) * np.exp(-x1**2) / smooth_width *8#norm*(x1[1]-x1[0])



# calculate second order deriv.
y_conv = np.convolve(y_n, y1, mode="same")

# plot data
plt.plot(x,y_conv, label = "second deriv")
plt.plot(x, y_n,"o", label = "noisy data")
plt.plot(x, y, label="theory")
plt.plot(x, x, "0.3", label = "linear data")
plt.hlines([0],-10, 20)
plt.axvspan(0,4, color="y", alpha=0.2)
plt.axvspan(6,14, color="y", alpha=0.2)
plt.axhspan(-1,1, color="b", alpha=0.2)
plt.vlines([0, 4, 6],-10, 10)
plt.xlim(-2.5,12)
plt.ylim(-2.5,6)
plt.legend(loc=0)
plt.show()

这是结果：

smooth_width是卷积内核的宽度。要调整噪声量，请将random.normal中的值0.27更改为不同的值。请注意，此方法不能很好地靠近数据空间的边界。

正如您所看到的，对于黄色部分，二阶导数（蓝线）的“接近零”要求非常好，其中数据是线性的。

Answer 2

您可以使用Ramer Douglas Peucker algorithm将数据简化为较小的一组线段。该算法允许您指定epsilon，以使每个数据点不会超过某些线段的epsilon。线段的斜率将粗略估计曲线的斜率。

有一个Python implementation of the RDP algorithm here.

Answer 3

这只是一个可能的解决方案，它会找到点的直线段，其最小chi ^ 2值超过预设的最小值;

from matplotlib.pyplot import figure, show
from numpy import pi, sin, linspace, exp, polyfit
from matplotlib.mlab import stineman_interp

x = linspace(0,2*pi,20);
y = x + sin(x) + exp(-0.5*(x-2)**2);

num_points = len(x)

min_fit_length = 5

chi = 0

chi_min = 10000

i_best = 0
j_best = 0

for i in range(len(x) - min_fit_length):
    for j in range(i+min_fit_length, len(x)):

        coefs = polyfit(x[i:j],y[i:j],1)
        y_linear = x * coefs[0] + coefs[1]
        chi = 0
        for k in range(i,j):
            chi += ( y_linear[k] - y[k])**2

        if chi < chi_min:
            i_best = i
            j_best = j
            chi_min = chi
            print chi_min

coefs = polyfit(x[i_best:j_best],y[i_best:j_best],1)
y_linear = x[i_best:j_best] * coefs[0] + coefs[1]


fig = figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(x,y,'ro')
ax.plot(x[i_best:j_best],y_linear,'b-')


show()

我可以看到它对于更大的数据集会出现问题......

Answer 4

如果数据的“模型”由大多数符合直线的数据组成，最后有一些异常值或摆动位，您可以尝试RANSAC算法。

这里的（非常罗嗦，对不起）伪代码将是：

choose a small threshold distance D

for N iterations:
    pick two random points from your data, a and b
    fit a straight line, L, to a and b
    count the inliers: data points within a distance D of the line L
    save the parameters of the line with the most inliers so far

estimate the final line using ALL the inliers of the best line