Multiway Cut Q-我们如何在多项式时间内显示解？

Question

在多路切割问题中，输入是无向图G =（V，E），终端节点s1，s2 .... sk的集合为V.

Answer 1

这听起来像是家庭作业，但这里有一个提示：如果你把你的图形变成一个流量网络，其中每个边缘的容量为1，并使用两个终端节点作为源和接收器，你可以使用Edmonds-Karp在多项式时间内找到两个终端节点之间的流量。找到最大流量后， min-cut max-flow定理告诉你什么？

Answer 2

1. 这个问题确实可以通过@Aasmund Eldhuset的最小切割最大流量来解决，S1，S2之间的最小切割实际上是为了分离S1和S2而需要移除的最小边缘集合。
   请记住，最小割问题说：

     

   给定图表（加权，但您可以对所有边使用w(e)=1   （未加权版本），找到具有最小权重组合的边缘集合 - 这样源（S1）和接收器（S2）将处于不同的连接组件中。

   请注意，这个问题正是您的问题 - 并且可以通过某些算法解决，例如Edmond Karp - 以多项式时间运行

2. 通过重复（S1，S2）和（S2，S3）的处理，得到2组边缘E1（对于S1，S2）和E2（对于S2，S3）。
   现在，请注意最佳解决方案（让它为OPT）不小于E1和E2（否则 - 由于OPT的“切割”分离S1，S2和S2，S3 - 它将被返回为答案而不是E1或E2。
   由此我们可以得出结论|OPT| >= max{|E1|,|E2|}。请注意，|E1 Union E2| <= |E1| + |E2| <= |OPT| + |OPT| = 2|OPT| - 因此E1 Union E2是对问题的2近似。