Question

问题编辑，现在我只想知道是否可以使用队列来改进算法。

我发现混合成本最大流算法的实现，它使用dijkstra：http://www.stanford.edu/~liszt90/acm/notebook.html#file2

要把它粘贴在这里以防它在互联网上丢失无效：

// Implementation of min cost max flow algorithm using adjacency
// matrix (Edmonds and Karp 1972).  This implementation keeps track of
// forward and reverse edges separately (so you can set cap[i][j] !=
// cap[j][i]).  For a regular max flow, set all edge costs to 0.
//
// Running time, O(|V|^2) cost per augmentation
//     max flow:           O(|V|^3) augmentations
//     min cost max flow:  O(|V|^4 * MAX_EDGE_COST) augmentations
//     
// INPUT: 
//     - graph, constructed using AddEdge()
//     - source
//     - sink
//
// OUTPUT:
//     - (maximum flow value, minimum cost value)
//     - To obtain the actual flow, look at positive values only.

#include <cmath>
#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef vector<int> VI;
typedef vector<VI> VVI;
typedef long long L;
typedef vector<L> VL;
typedef vector<VL> VVL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<PII> VPII;

const L INF = numeric_limits<L>::max() / 4;

struct MinCostMaxFlow {
  int N;
  VVL cap, flow, cost;
  VI found;
  VL dist, pi, width;
  VPII dad;

  MinCostMaxFlow(int N) : 
    N(N), cap(N, VL(N)), flow(N, VL(N)), cost(N, VL(N)), 
    found(N), dist(N), pi(N), width(N), dad(N) {}

  void AddEdge(int from, int to, L cap, L cost) {
    this->cap[from][to] = cap;
    this->cost[from][to] = cost;
  }

  void Relax(int s, int k, L cap, L cost, int dir) {
    L val = dist[s] + pi[s] - pi[k] + cost;
    if (cap && val < dist[k]) {
      dist[k] = val;
      dad[k] = make_pair(s, dir);
      width[k] = min(cap, width[s]);
    }
  }

  L Dijkstra(int s, int t) {
    fill(found.begin(), found.end(), false);
    fill(dist.begin(), dist.end(), INF);
    fill(width.begin(), width.end(), 0);
    dist[s] = 0;
    width[s] = INF;

    while (s != -1) {
      int best = -1;
      found[s] = true;
      for (int k = 0; k < N; k++) {
        if (found[k]) continue;
        Relax(s, k, cap[s][k] - flow[s][k], cost[s][k], 1);
        Relax(s, k, flow[k][s], -cost[k][s], -1);
        if (best == -1 || dist[k] < dist[best]) best = k;
      }
      s = best;
    }

    for (int k = 0; k < N; k++)
      pi[k] = min(pi[k] + dist[k], INF);
    return width[t];
  }

  pair<L, L> GetMaxFlow(int s, int t) {
    L totflow = 0, totcost = 0;
    while (L amt = Dijkstra(s, t)) {
      totflow += amt;
      for (int x = t; x != s; x = dad[x].first) {
        if (dad[x].second == 1) {
          flow[dad[x].first][x] += amt;
          totcost += amt * cost[dad[x].first][x];
        } else {
          flow[x][dad[x].first] -= amt;
          totcost -= amt * cost[x][dad[x].first];
        }
      }
    }
    return make_pair(totflow, totcost);
  }
};

我的问题是，如果可以通过在Dijkstra（）内部使用优先级队列来改进它。我试过但我无法让它正常工作。实际上我怀疑在Dijkstra中它应该在相邻节点上循环，而不是所有节点......

非常感谢。

Answer 1

当然，使用minheap可以改善Dijkstra的算法。在我们将一个顶点放入最短路径树并处理（即标记）所有相邻顶点之后，我们的下一步是选择具有最小标签的顶点，而不是树中的顶点。
这就是minheap浮现在脑海中的地方。我们不是依次扫描所有顶点，而是从堆中提取min元素并对其进行重构，这需要O（logn）时间与O（n）。请注意，堆将仅保留尚未位于最短路径树中的那些顶点。但是，如果我们更新它们的标签，我们应该能够以某种方式修改堆中的顶点。

Answer 2

我不确定使用优先级队列来实现Dijkstra的算法是否会真正改善运行时间，因为使用优先级队列会减少找到距源点最小距离的顶点所需的时间（O（log V ）（在朴素的实现中具有优先级队列与O（V）的关系），这也增加了处理新边所需的时间（在朴素的实现中具有优先级队列与O（V）的关系））。

因此，对于简单的实现，运行时间为O（V ^ 2 + E）。

但是，对于优先级队列实现，运行时间为O（V log V + E log V）。

对于非常密集的图，E可以为O（V ^ 2），这意味着朴素的实现的运行时间为O（V ^ 2 + V ^ 2）= O（V ^ 2），而优先级队列的实现则为具有运行时间O（V log V + V ^ 2 log V）= O（V ^ 2 log V）。因此，如您所见，在密集图的情况下，优先级队列实现实际上在最坏情况下的运行时间更糟。

鉴于编写上述实现的人们将边缘存储为邻接矩阵而不是使用邻接列表，因此，编写此代码的人们似乎期望图是O（V ^ 2的密集图。）边缘，因此在这里优先使用朴素的实现而不是优先级队列实现。

有关Dijkstra算法运行时间的更多信息，请阅读this Wikipedia page。

优化dijkstra实现

2 个答案: