如何确定嵌套循环中的语句执行的频率？

Question

我正在研究使用递归关系确定嵌套循环复杂性的文本部分。在这个特定的例子中，我试图确定计数变量将作为n的函数递增多少次。

这是我正在分析的循环：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
     int j = n;
     while (j > 0) {
           count++;
           j = j / 2;
     }
}

我想我明白第一行简单地等同于n，因为它只对n的每个值执行，但是其余部分我遇到了麻烦。我认为答案将是n（n / 2），除了这个例子使用整数除法，所以我不知道如何用数学表示。

我在纸上手工完成了几次循环，所以我知道，对于n值为1-6，count变量应该等于1,4,6,12,15和18。我似乎无法想出公式......任何帮助都将不胜感激！

Answer 1

循环在n范围内的[1, n]执行。它每次为j变量除以2，它设置为n，因此内循环执行的时间是floor(l2(n)) + 1,，其中l2是二进制日志函数。将所有此类值从1添加到n（乘以n）。

Answer 2

内部j循环将第一个设置位的位置添加到计数中。

每次除以2与右移相同，直到所有位为零。

因此，2是二进制的10，内循环的值是2。 4将是二进制100，内循环的值为3。

外部循环似乎只是将第一个设置位的位置乘以数字本身。

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以下是n = 13的示例。

三进制的13是1101，所以第一个设置位在位置4。

4 * 13 = 52. 52是最终答案。

Answer 3

  

for（int i = 1; i＆lt; = n; i ++）{

此顶部的循环经过循环n次。

 int j = n;
 while (j > 0) {
       count++;
       j = j / 2;
 }

这个循环通过循环log（n）次，注意它是一个基数为2的日志，因为你每次除以2。

因此，总数是 n * ceiling（log（n））