Question

操作A \ B的结果是什么，其中A（1，m）和B（1，m）？

在手册中写道：

A\B returns a least-squares solution to the system of equations A*x= B.

所以这意味着x = inv（A'* A）* A'* B？但是，矩阵A'* A是单数......

让我们假设：

A=[1 2 3]
B=[6 7 6]
A\B

0         0         0
0         0         0
2.0000    2.3333    2.0000

如果使用MLS：

C = inv (A'*A)   singular matrix
C = pinv(A'*A)

0.0051    0.0102    0.0153
0.0102    0.0204    0.0306
0.0153    0.0306    0.0459

D= C*A'*B

0.4286    0.5000    0.4286
0.8571    1.0000    0.8571
1.2857    1.5000    1.2857

结果A \ B和inv（A'* A）* A'* B不同......

Answer 1

我的MATLAB（R2010b）对A\B的作用说了很多：

mldivide(A,B)和等效A\B执行矩阵左划分   （反斜杠）。 A和B必须是具有相同数量的矩阵   行，除非A是标量，在这种情况下A\B执行元素   分裂 - 即A\B = A.\B。

如果A是方阵，则A\B与inv(A)*B大致相同，但   它以不同的方式计算。如果A是n - by - n矩阵且B是   带有n元素的列向量，或带有多个此类列的矩阵，   然后X = A\B是等式AX = B的解。一条警告信息   如果A严重缩放或几乎是单数，则会显示。

如果A是m - n矩阵，m ~= n和B是m的列向量   组件，或具有多个这样的列的矩阵，然后是X = A\B   在最小二乘意义上的解决方案对于欠定或超定   方程组AX = B。换句话说，X最小化norm(A*X - B)，   向量AX - B的长度。 k的等级A由...确定   带有列旋转的QR分解。计算出的解X具有   每列最多k个非零元素。如果k < n，通常不会   与x = pinv(A)*B相同的解决方案，返回最小二乘法   溶液

mrdivide(B,A)和等效的B/A执行矩阵右分割   （正斜线）。 B和A必须具有相同的列数。

如果A是方阵，则B/A与B*inv(A)大致相同。如果是A   n - by - n矩阵和B是带有n元素的行向量，或矩阵   有几个这样的行，然后X = B/A是等式的解   XA = B通过高斯消除和部分旋转计算。一个   如果A严重缩放或几乎是单数，则会显示警告消息。

如果B是m - n矩阵，m ~= n和A是m的列向量   组件，或具有多个这样的列的矩阵，然后是X = B/A   在最小二乘意义上的解决方案对于欠定或超定   方程组XA = B。

Answer 2

x = inv (A'*A)*A'*B用于已确定的系统（即哪个功能A为n x m矩阵n>m;在这些情况下{{1}是可逆的）。

在您的情况下，您的已确定系统。

因此，会发生什么？

我的意见，虽然你可以检查，至少在你的情况下：

当你A'A时，matlab解决了反义意义上的优化问题w.r.t.通常的最小二乘，即

A\B

其中X = argmin_{X \in S} ||X||,是解决方案集。换句话说，它为您提供了具有最小L ^ 2范数的系统的解决方案。（考虑到您可以手动处理问题，至少在您的情况下）。

Matlab，运算符A \ B.

2 个答案: