Question

自从我学会了一点Coq后，我想学习写一个所谓的分割算法的Coq证明，这实际上是一个逻辑命题：forall n m : nat, exists q : nat, exists r : nat, n = q * m + r
我最近使用从Software Foundations学到的知识完成了这项任务。
Coq是一个开发建设性证据的系统，我的证明实际上是一种从值q和r构建合适的值m和n的方法。
Coq有一个有趣的工具，可以将Coq算法语言（Gallina）中的算法“提取”为包含Haskell的通用函数式编程语言。
另外我已经设法将divmod操作编写为Gallina Fixpoint并将其解压缩。我想仔细注意那个任务不是我在这里考虑的。
Adam Chlipala在Certified Programming with Dependent Types写道：“Curry-Howard信函的许多粉丝支持从证据中提取程序的想法。实际上，很少有Coq和相关工具的用户做任何这样的事情。” LI>

甚至可以将我的证明中隐含的算法提取到Haskell中吗？如果有可能，会怎么做？

Answer 1

感谢Prof. Pierce's summer 2012 video 4.1建议的Dan Feltey，我们看到关键是要提取的定理必须提供Type的成员而不是通常的命题，这是Prop。

对于特定定理，受影响的构造是归纳的Prop ex及其符号exists。与Pierce教授的工作类似，我们可以说明我们自己的替代定义ex_t和exists_t，用Prop替换Type的出现次数。

以下是ex和exists的常规重新定义，与Coq标准库中定义的类似。

Inductive ex (X:Type) (P : X->Prop) : Prop :=
ex_intro : forall (witness:X), P witness -> ex X P.

Notation "'exists' x : X , p" := (ex _ (fun x:X => p))
(at level 200, x ident, right associativity) : type_scope.

以下是其他定义。

Inductive ex_t (X:Type) (P : X->Type) : Type :=
ex_t_intro : forall (witness:X), P witness -> ex_t X P.

Notation "'exists_t' x : X , p" := (ex_t _ (fun x:X => p))
(at level 200, x ident, right associativity) : type_scope.

现在，有点不幸的是，有必要使用这些新定义重复定理的语句和证明。

世界上有什么？

为什么有必要对该定理进行重复陈述，并重复证明该定理，只有使用量词的替代定义才有区别？

我原本希望用Prop中的现有定理来证明Type中的定理。当inversion使用Prop并且目标是Prop使用{{}时，当Coq拒绝环境中exists的证明策略Type时，该策略失败{1}}。 Coq报告“错误：反转将需要对排序集进行案例分析，这是不允许的     对于归纳定义ex。“这种行为发生在Coq 8.3中。我不确定它     仍然出现在Coq 8.4中。

我认为重复证据的必要性实际上是深刻的，尽管我怀疑我个人是否能够完全理解它的深刻性。它涉及的事实是exists_t是“不可预测的”而Prop不是不可预测的，而是默认的“分层”。对于罗素的悖论，预测性是（如果我理解正确的话），那些不属于自己的集合的集合S既不是S的成员，也不是S的非成员。Type默认避免罗素的悖论创建包含较低类型的较高类型的序列。因为Coq在Curry-Howard对应的公式 - 类型解释中被浸透，如果我正确得到这个，我们甚至可以理解Coq中类型的分层，以避免哥德尔不完整性，某些公式表达的现象对自己这样的公式的限制，从而对于他们的真实或谎言变得不可知。

回到地球上，这是使用“exists_t”的定理的重复陈述。

Type

由于我省略了Theorem divalg_t : forall n m : nat, exists_t q : nat, exists_t r : nat, n = plus (mult q m) r.的证明，我也会省略divalg的证明。我只会提到我们确实有幸，包括“存在”和“反转”在内的证据策略与我们的新定义“ex_t”和“exists_t”的工作方式相同。

最后，提取本身很容易完成。

divalg_t

生成的Haskell文件包含许多定义，其核心是相当不错的代码，如下所示。我几乎完全不了解Haskell编程语言，只是略微受到了阻碍。请注意，Extraction Language Haskell. Extraction "divalg.hs" divalg_t.会创建类型为Ex_t_intro的结果; Ex_t和O是Peano算术的零和后继函数; S测试Peano数字的平等性; beq_nat是一个高阶函数，它在参数中重复该函数。此处未显示nat_rec的定义。无论如何，它是由Coq根据Coq。

中定义的归纳类型“nat”生成的

nat_rec

更新2013-04-24：我现在知道更多Haskell了。为了帮助其他人阅读上面提取的代码，我提出了以下手写的代码，我认为这些代码是等效的，更具可读性。我还提出了我没有消除的提取定义Nat，O，S和nat_rec。

divalg :: Nat -> Nat -> Ex_t Nat (Ex_t Nat ())
divalg n m =
  case m of {
   O -> Ex_t_intro O (Ex_t_intro n __);
   S m' ->
    nat_rec (Ex_t_intro O (Ex_t_intro O __)) (\n' iHn' ->
      case iHn' of {
       Ex_t_intro q' hq' ->
        case hq' of {
         Ex_t_intro r' _ ->
          let {k = beq_nat r' m'} in
          case k of {
           True -> Ex_t_intro (S q') (Ex_t_intro O __);
           False -> Ex_t_intro q' (Ex_t_intro (S r') __)}}}) n}

Answer 2

2012年7月25日的软件基础的最新版本在后面的章节“Extraction2”中非常简明扼要地回答了这个问题。答案是它肯定可以完成，就像这样：

Extraction Language Haskell
Extraction "divalg.hs" divalg

还需要一个技巧。 divalg必须是Prop，而不是Type。否则它将在提取过程中被删除。

哦，@Anthill是对的，我没有回答这个问题，因为我不知道如何解释皮尔斯教授是如何在他的Norm.v和MoreStlc.v的NormInType.v变体中完成的。< / p>

好的，无论如何，这是我的部分答案的其余部分。

如果上面出现“divalg”，则需要提供所有命题的空格分隔列表（必须将每个命题重新定义为Type而不是Prop） divalg依赖。有关证据提取的详尽，有趣且有效的示例，可以参考上面提到的章节Extraction2。该示例提取到OCaml，但是将其调整为Haskell只是使用上述Extraction Language Haskell的问题。

在某种程度上，我花了一些时间不知道上述答案的原因是我一直在使用2010年10月14日我在2011年下载的软件基础的副本。

我可以将Coq证明提取为Haskell函数吗？

2 个答案:

世界上有什么？