证明只存在4个因子数？

Question

我很难理解为什么40585是存在的最大因素。为什么没有更大的？

Wikipedia说：“d≥8时无效。”换句话说，不能存在超过7位数的因子。

但这是怎么知道的？如何证明？对于非常大的数字，或许尚未经过测试的数字呢？

Answer 1

对于 d = 7，你有

  

10 ⁶ =1,000,000≤≤2,540,160= 9！∙7

存在一些实现这种不等式的 n ，即使它们实际上都不是一个因素。对于 d = 8，你得到

  

10 ⁷ =10,000,000≤≤2,903,040= 9！∙8

由于左手侧已经大于右手侧，因此 n 的值不可能同时满足两个不等式。由于左侧在 d 中呈指数增长，而右侧仅呈线性增长，因此左侧的增长速度将比右侧快得多。

这两个边界的原因很简单：数字必须至少有 d 个数字，并且带有那么多数字的最小数字是10 ^{d -1} 。另一方面，它必须是 d 阶乘的总和，每个阶乘对于一个数字，并且你可以获得的最大阶乘是9！。因此不平等。