Question

我正在进行蒙特卡罗实验来计算PI的近似值。来自SICP：

蒙特卡罗方法包括随机选择样品实验从一大套，然后制作在此基础上扣除估计的概率列出那些结果实验。例如，我们可以近似使用的事实 6 / pi ^ 2是两个概率随机选择的整数将没有共同的因素;那是他们的最大公约数将是1. To 获得近似值，我们进行大量的实验。在每个实验中，我们选择两个随机整数并执行测试看他们的GCD是否为1.分数通过测试的次数给出了我们估计6 / pi ^ 2，来自我们得到了近似值 PI。

但是当我运行我的程序时，我获得了3.9 ......

这样的值

这是我的计划：

(define (calculate-pi trials)
  (define (this-time-have-common-factors?)
    (define (get-rand)
      (+ (random 9999999999999999999999999999999) 1))
    (= (gcd (get-rand) (get-rand)) 1))
  (define (execute-experiment n-times acc)
    (if (> n-times 0)
        (if (this-time-have-common-factors?)
            (execute-experiment (- n-times 1) acc)
            (execute-experiment (- n-times 1) (+ acc 1)))
        acc))
  (define n-success (execute-experiment trials 0))
  (define prob (/ n-success trials))
  (sqrt (/ 6 prob)))

我的翻译是麻省理工学院/ GNU 7.7.90

感谢您的帮助。

Answer 1

好吧，直接回答你的问题，你的if语句倒退了;它应该是这样的。

    (if (this-time-have-common-factors?)
        (execute-experiment (- n-times 1) (+ acc 1)
        (execute-experiment (- n-times 1) acc))

因此，当试验的数量接近无穷大时，你在极限内计算1 - 6 /π²。这产生“pi”= sqrt（6 /（1 - 6 /π²））= sqrt（6π² /（π² - 6））= 3.911）。

让我们在这里退后一步，看看蒙特卡罗方法对我们的计算方法（提示：期望收敛非常慢。你运行了多少次？）......

每个试验给出0或1，概率p = 6 /π²。这是一个Bernoulli process的例子，在许多试验 n 中，对于1的 m ，binomial distribution。 / p>

考虑ρ= m / n，即通过除数检验的次数。该a具有p的平均值和p（1-p）/ n的方差，或者stddevσ_ρ = sqrt（p（1-p）/ n）。对于n = 10000，您应该期望std dev为0.00488。 95% of the time you will be within 2 std devs of the mean，5％的时间你会在2 std devs之外，或者在0.5982和0.6177之间。因此，给定n = 10000时，这种方法的π估计值将在3.117和3.167之间，在95％的时间内，超出此范围的时间为5％。

如果你想将试验次数增加100，那么std dev会减少10倍，π的估计值会在3.1391和3.1441之间变窄，置信度为95％。

蒙特卡罗方法很适合进行粗略估计，但是他们需要大量的试验来获得准确的答案，并且通常会达到收益递减的程度。

并不是说这是近似pi的无效方法，只要注意这个问题。

Answer 2

我发现了我的错误。谢谢大家。我在错误的地方增加了成功案例。

更正的代码是：

(define (calculate-pi trials)
  (define (this-time-have-common-factors?)
    (define (get-rand)
      (+ (random 9999999) 1))
    (= (gcd (get-rand) (get-rand)) 1))
  (define (execute-experiment n-times acc)
    (if (> n-times 0)
        (if (this-time-have-common-factors?)
            (execute-experiment (- n-times 1) (+ acc 1))
            (execute-experiment (- n-times 1) acc))
        acc))
  (define n-success (execute-experiment trials 0))
  (define prob (/ n-success trials))
  (sqrt (/ 6 prob)))

我无法在此Scheme计划中找到我的错误来计算PI

2 个答案: