Question

是否有算法来确定以下事项？

如果除法的结果是重复的十进制（二进制）。
如果重复，那么重复开始的数字（表示为2的幂）？
什么数字重复？

一些例子：

1/2 = 1/10 = 0.1 // 1 = false, 2 = N/A, 3 = N/A, 4 = N/A
1/3 = 1/11 = 0.010101... // 1 = true, 2 = -2, 3 = 10
2/3 = 10/11 = 0.101010... // 1 = true, 2 = -1, 3 = 10
4/3 = 100/11 = 1.010101... // 1 = true, 2 = 0, 3 = 10
1/5 = 1/101 = 0.001100110011... // 1 = true, 2 = -3, 3 = 1100

有办法做到这一点吗？效率是一个大问题。这个算法的描述比代码更受欢迎，但我会得到我能得到的答案。

值得注意的是，基数不是什么大问题;我可以将算法转换为二进制（或者如果它在，比如基数256以便使用char来轻松，我可以使用它）。我这样说是因为如果你在解释它可能更容易在基数10中解释:)。

Answer 1

如果除数不是2的幂（一般来说，包含不与表示基础共享的素数因子）
重复周期长度将由被除数的最大素因子驱动（但不与该因子的表示长度相关 - 见十进制的1/7），但第一个周期长度可能与重复不同单位（例如11/28 = 1/4 + 1/7十进制）。
实际周期取决于分子。

Answer 2

我可以给出一个提示 - 基数十位的重复小数是所有分数，分母至少有一个素数因子而不是两个和五个。如果分母不包含素数因子2或5，则它们总是可以用所有9的分母表示。然后，提名者是重复部分，9的数量是重复部分的长度。

3     _
- = 0.3
9

1   142857     ______
- = ------ = 0.142857
7   999999

如果分母中存在两个或五个素因子，则重复部分不会从第一个位置开始。

17    17        ______
-- = ----- = 0.4857142
35   5 * 7

但我不记得如何推导非重复部分及其长度。

这似乎很好地转化为基础二。只有具有两个分母幂的分数是非重复的。通过声明分母中只有一个位被设置，可以很容易地检查这一点。

1/2 =   1/10   = 0.1
1/4 =   1/100  = 0.01
3/4 =  11/100  = 0.11
5/8 = 101/1000 = 0.101

具有奇数分母的所有分数应该重复，并且可以通过以2^n-1形式表示具有分母的分数来获得模式及其长度。

                                                     __
 1/3            =  1/(2^2-1) =        1/11       = 0.01
                                                     __
 2/3            =  2/(2^2-1) =       10/11       = 0.10
                       __
 4/3  => 1 + 1/3 =>  1.01
                       __
10/3  => 3 + 1/3 => 11.01
                                                     ____
 1/5  =   3/15  =  3/(2^4-1) =       11/1111     = 0.0011
                                                     ________
11/17 = 165/255 = 11/(2^8-1) = 10100101/11111111 = 0.10100101

至于十号基础，我不知道如何处理包含但不是两个幂的分母 - 例如12 = 3 * 2^2。

Answer 3

首先，你的一个例子是错误的。 1/5的重复部分是0011而不是1100，它从小数部分的开头开始。

重复小数类似于：

a/b = c + d(2^-n + 2^-n-k + 2^-n-2k + ...) = c + 2^-n * d / (1 - 2^-k)

其中n和d就是您想要的。

例如，

1/10_(dec) = 1/1010_(bin) = 0.0001100110011... // 1 = true, 2 = -1, 3 = 0011

可以用公式

表示

a = 1, b = 10_(dec), c = 0, d = 0.0011_(bin), n = 1, k = 4; (1 - 2^-k) = 0.1111

因此，1/10 = 0.1 * 0.0011/0.1111。重复十进制表示的关键部分是通过除以(2ⁿ - 1)或其任意倍数2来生成的。因此，您可以找到一种方法来表达您的分母（如构建常量表），或者做一个大数字划分（相对较慢）并找到循环。没有快速的方法来做到这一点。

Answer 4

查看decimal expansion，特别是分数的句号。

Answer 5

要查找重复模式，只需跟踪沿着该行使用的值：

1/5 = 1/101:

1 < 101 => 0
(decimal separator here)
10 < 101 => 0
100 < 101 => 0
1000 >= 101 => 1

  1000 - 101 = 11

110 >= 101 => 1

  110 - 101 = 1

10 -> match

当您达到与第二位相同的值时，该过程将从该点开始重复生成相同的位模式。从第二位开始重复模式“0011”（小数点分隔符后面的第一位）。

如果您希望模式以“1”开头，您可以旋转它直到它符合该条件：

"0011" from the second bit
"0110" from the third bit
"1100" from the fourth bit

编辑：
C＃中的示例：

void FindPattern(int n1, int n2) {
   int digit = -1;
   while (n1 >= n2) {
      n2 <<= 1;
      digit++;
   }
   Dictionary<int, int> states = new Dictionary<int, int>();
   bool found = false;
   while (n1 > 0 || digit >= 0) {
      if (digit == -1) Console.Write('.');
      n1 <<= 1;
      if (states.ContainsKey(n1)) {
         Console.WriteLine(digit >= 0 ? new String('0', digit + 1) : String.Empty);
         Console.WriteLine("Repeat from digit {0} length {1}.", states[n1], states[n1] - digit);
         found = true;
         break;
      }
      states.Add(n1, digit);
      if (n1 < n2) {
         Console.Write('0');
      } else {
         Console.Write('1');
         n1 -= n2;
      }
      digit--;
   }
   if (!found) {
      Console.WriteLine();
      Console.WriteLine("No repeat.");
   }
}

用你的例子调用它输出：

.1
No repeat.
.01
Repeat from digit -1 length 2.
.10
Repeat from digit -1 length 2.
1.0
Repeat from digit 0 length 2.
.0011
Repeat from digit -1 length 4.

Answer 6

您可以执行 long division ，注意剩余部分。余数的结构将为您提供任何有理小数：

的结构

最后一个余数为零：它是一个小数，没有任何重复部分
第一个和最后一个余数相等：小数点在点
第一个和第一个剩余部分之间的距离等于最后一个是非重复数字，其余部分是重复部分

通常，距离将为您提供每个部分的位数。

您可以在方法decompose() here中看到此算法以 C ++ 编码。

Try 228142/62265 ，其周期为 1776 ！

检测重复小数的算法？

6 个答案: