Question

我正在使用Python / numpy / scipy编写一个小型光线跟踪器。曲面被建模为二维函数，其高度高于法线平面。我减少了找到光线和曲面之间的交点以找到具有一个变量的函数的根的问题。功能是连续的，并且是连续可分的。

有没有办法比使用scipy root finders（并且可能使用多个进程）简单地循环所有函数更有效地做到这一点？

编辑：函数是表示光线的线性函数与曲面函数之间的差异，约束于交叉平面。

Answer 1

以下示例显示使用二分法并行计算100万个函数x **（a + 1） - b（均具有不同的a和b）的根。这里需要大约12秒。

import numpy

def F(x, a, b):
    return numpy.power(x, a+1.0) - b

N = 1000000

a = numpy.random.rand(N)
b = numpy.random.rand(N)

x0 = numpy.zeros(N)
x1 = numpy.ones(N) * 1000.0

max_step = 100
for step in range(max_step):
    x_mid = (x0 + x1)/2.0
    F0 = F(x0, a, b)
    F1 = F(x1, a, b)
    F_mid = F(x_mid, a, b)
    x0 = numpy.where( numpy.sign(F_mid) == numpy.sign(F0), x_mid, x0 )
    x1 = numpy.where( numpy.sign(F_mid) == numpy.sign(F1), x_mid, x1 )
    error_max = numpy.amax(numpy.abs(x1 - x0))
    print "step=%d error max=%f" % (step, error_max)
    if error_max < 1e-6: break

基本思想是简单地在变量向量上并行运行根查找器的所有常规步骤，使用可在变量向量和定义个体的等效参数向量上进行求值的函数组件功能。条件被替换为mask和numpy.where（）的组合。这可以持续到所有根都被发现达到所需的精度，或者可选地直到找到足够的根来确定将它们从问题中移除并继续排除那些根的较小问题。

我选择解决的函数是任意的，但如果函数表现良好，它会有所帮助;在这种情况下，该族中的所有函数都是单调的，并且只有一个正根。另外，对于二分法，我们需要猜测变量给出不同的函数符号，这些也很容易在这里得出（x0和x1的初始值）。

上面的代码可能使用了最简单的根查找器（二分法），但是相同的技术可以很容易地应用于Newton-Raphson，Ridder等。根查找方法中的条件越少，它就越适合于这个。但是，您必须重新实现所需的任何算法，无法直接使用现有的库根查找器功能。

以上代码片段的编写清晰，而不是速度。避免重复某些计算，特别是每次迭代而不是3次评估函数一次，将速度提高到9秒，如下所示：

...
F0 = F(x0, a, b)
F1 = F(x1, a, b)

max_step = 100
for step in range(max_step):
    x_mid = (x0 + x1)/2.0
    F_mid = F(x_mid, a, b)
    mask0 = numpy.sign(F_mid) == numpy.sign(F0)
    mask1 = numpy.sign(F_mid) == numpy.sign(F1)
    x0 = numpy.where( mask0, x_mid, x0 )
    x1 = numpy.where( mask1, x_mid, x1 )
    F0 = numpy.where( mask0, F_mid, F0 )
    F1 = numpy.where( mask1, F_mid, F1 )
...

为了进行比较，使用scipy.bisect（）一次查找一个根需要~94秒：

for i in range(N):
    x_root = scipy.optimize.bisect(lambda x: F(x, a[i], b[i]), x0[i], x1[i], xtol=1e-6)

使用一个变量查找大量函数的根

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