Question

我得到了一个赋值，我应该编写一个算法，通过重心公式执行多项式插值。公式表明：

p（x）=（SIGMA_（j = 0到n）w（j）* f（j）/（x-x（j）））/（SIGMA_（j = 0到n）w（j） /（x - x（j）））

我写了一个算法很好，我得到了我想要的多项式输出。但是，这需要使用一些相当长的循环，对于大的网格数，必须进行大量的非常循环操作。因此，如果有人对我如何改进这一点有任何暗示，我将非常感激，以便我将避免所有这些循环。

在算法中，x和f代表我们应该插入的给定点。 w代表重心权重，它是在运行算法之前计算出来的。并且grid是应该进行插值的空间：

function p = barycentric_formula(x,f,w,grid)

%Assert x-vectors and f-vectors have same length.
if length(x) ~= length(f)
    sprintf('Not equal amounts of x- and y-values. Function is terminated.')
    return;
end

n = length(x);
m = length(grid);
p = zeros(1,m);

% Loops for finding polynomial values at grid points.  All values are
% calculated by the barycentric formula.
for i = 1:m
    var = 0;
    sum1 = 0;
    sum2 = 0;
    for j = 1:n
        if grid(i) == x(j)
            p(i) = f(j);
            var = 1;
        else
            sum1 = sum1 + (w(j)*f(j))/(grid(i) - x(j));
            sum2 = sum2 + (w(j)/(grid(i) - x(j)));
        end
    end
    if var == 0
        p(i) = sum1/sum2;
    end    
end

Answer 1

这是matlab'矢量化'的经典案例。我会说 - 只需删除循环。这几乎就是这么简单。首先，看看这段代码：

function p = bf2(x, f, w, grid)

m = length(grid);
p = zeros(1,m);

for i = 1:m
    var = grid(i)==x;
    if any(var)
        p(i) = f(var);
    else
        sum1 = sum((w.*f)./(grid(i) - x));
        sum2 = sum(w./(grid(i) - x));
        p(i) = sum1/sum2;
    end
end
end

我删除了j上的内循环。我在这里所做的就是删除(j)索引并将算术运算符从/更改为./以及从*更改为.* - 同样，但是前面有一个点表示操作是逐个元素执行的。与普通矩阵运算符相比，这称为array operators。另请注意，处理网格点落在x上的特殊情况与原始实现中的情况非常相似，只使用向量var，使x(var)==grid(i)。

现在，您还可以删除最外层的循环。这有点棘手，有两种主要方法可以在MATLAB中实现。我会以更简单的方式做到这一点，效率较低，但阅读更清晰 - 使用repmat：

function p = bf3(x, f, w, grid)

% Find grid points that coincide with x.
% The below compares all grid values with all x values
% and returns a matrix of 0/1. 1 is in the (row,col)
% for which grid(row)==x(col)

var  = bsxfun(@eq, grid', x);

% find the logical indexes of those x entries
varx = sum(var, 1)~=0;

% and of those grid entries
varp = sum(var, 2)~=0;

% Outer-most loop removal - use repmat to
% replicate the vectors into matrices.
% Thus, instead of having a loop over j
% you have matrices of values that would be
% referenced in the loop

ww = repmat(w, numel(grid), 1);
ff = repmat(f, numel(grid), 1);
xx = repmat(x, numel(grid), 1);
gg = repmat(grid', 1, numel(x));

% perform the calculations element-wise on the matrices
sum1 = sum((ww.*ff)./(gg - xx),2);
sum2 = sum(ww./(gg - xx),2);
p    = sum1./sum2;

% fix the case where grid==x and return
p(varp) = f(varx);

end

完全矢量化版本可以使用bsxfun而不是repmat来实现。这可能会更快一些，因为矩阵没有明确形成。但是，对于小型系统，速度差异可能不大。

此外，具有一个循环的第一个解决方案在性能方面也不是太糟糕。我建议你测试那些并看看，哪个更好。也许完全矢量化是不值得的？第一个代码看起来更具可读性。

提高插值性能（重心公式）

1 个答案: