我想编写一个模拟许多粒子碰撞的小程序，首先在2D中开始（我稍后将其扩展到3D），到（在3D中）模拟向Boltzmann分布的收敛，并且还要看看如何分布在2D中演变。
我还没有开始编程，所以请不要问代码示例，这是一个相当普遍的问题，应该可以帮助我开始。这个问题背后的物理问题对我没有任何问题，而是我必须模拟至少200-500个粒子才能达到相当好的速度分布。我想实时做到这一点。
现在，对于每个时间步，我将首先更新所有粒子的位置，然后检查碰撞，以更新新的速度矢量。然而，这包括很多检查，因为我必须看看每个粒子是否与其他每个粒子发生碰撞。 我发现this或多或少地发布了相同的问题，而且那里使用的方法也是我唯一能想到的问题。但是，我担心这不会在实时工作得很好，因为它会涉及太多的碰撞检查。
现在：即使这种方法在性能方面有所提升（比如40fps），有人可以想办法避免不必要的碰撞检查吗？
我自己的想法是将电路板（或3D：空间）分成具有至少粒子直径尺寸的正方形（立方体），并实现仅检查碰撞的方法，如果两个粒子的中心是在网格中的adjecent广场内...
我很乐意听到更多的想法，因为我希望尽可能多地增加粒子数量，并且仍在进行实时计算/模拟。
编辑：所有碰撞都是纯粹的弹性碰撞，没有任何其他力量对粒子进行处理。我将实现的初始情况由用户选择的一些变量决定，以选择随机起始位置和速度。
Edit2：我发现了关于粒子碰撞模拟的一篇很好且非常有用的论文here。希望它可以帮助一些对此更感兴趣的人。
答案 0 :(得分：7)
如果你想到这一点，在计划上移动的粒子实际上是一个三维系统，其中三维是x，y和时间（t）。
假设“时间步长”从t0变为t1。对于每个粒子，您可以根据当前粒子位置，速度和方向创建从P0(x0, y0, t0)到P1(x1, y1, t1)的3D线段。
在3D网格中划分3D空间，并将每个3D线段链接到它穿过的单元格。
现在，应检查每个网格单元格。如果它链接到0或1段，则无需进一步检查（将其标记为已选中）。如果它包含2个或更多段，则需要检查它们之间的碰撞：计算3D碰撞点Pt，缩短这两个段以在此时结束（并删除它们不再交叉的单元格的链接） ，根据粒子的新方向/速度，创建从Pt到新计算的P1点的两个新段。将这些新线段添加到网格中，并将单元格标记为已选中。向网格添加线段会将所有交叉单元格转换为未选中状态。
当您的网格中没有未经检查的单元格时，您已经解决了时间步问。
修改
答案 1 :(得分：5)
空间划分的一个很好的高级例子是考虑乒乓球的比赛，并检测球和桨之间的碰撞。
假设球拍在屏幕的左上角，并且球在屏幕的左下角附近......
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每次球移动时都没有必要检查碰撞。相反，将比赛场分成中间两个。球是球场的左侧吗？ （矩形算法中的简单点）
Left Right
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如果答案是肯定的，再次分开左手边，这次是横向分开，所以我们有一个左上角和左下角分区。
Left Right
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这个球是否与屏幕一样位于屏幕的左上角？如果没有，不需要检查碰撞！ 只需要测试位于同一分区中的对象是否相互冲突。通过一系列简单（且便宜）的内部矩形检查，您可以轻松地避免进行更昂贵的形状/几何碰撞检查。
您可以继续将空间拆分为越来越小的块，直到对象跨越两个分区。这是BSP背后的基本原理（在像Quake这样的早期3D游戏中开创的技术）。网络上有很多关于2维和3维空间划分的理论。
http://en.wikipedia.org/wiki/Space_partitioning
在2维中，您经常使用BSP或四叉树。在3个维度中，您经常使用八叉树。但是，基本原则保持不变。
答案 2 :(得分：1)
你可以按照“分而治之”的思路思考。这个想法是识别正交参数而不会相互影响。例如可以想到在2D（3D轴为3轴）的情况下沿2轴分离动量分量并独立计算碰撞/位置。识别这些参数的另一种方法可以是将彼此垂直移动的粒子分组。因此，即使它们受到影响，沿着这些线的净动量也不会改变。
我同意上面没有完全回答你的问题，但它传达了一个你可能会觉得有用的基本想法。
答案 3 :(得分：1)
让我们说在时间t，对于每个粒子，你有：
P position
V speed
和粒子A（i）和A（j）之间的N *（N-1）/ 2信息阵列，其中i <1。焦耳;您使用对称来评估上三角矩阵而不是完整的N *（N-1）网格。
MAT[i][j] = { dx, dy, dz, sx, sy, sz }.
这意味着对于粒子j，粒子j具有由三个分量dx，dy和dz组成的距离;和delta-vee乘以dt，即sx，sy，sz。
要移至瞬间t + dt，您可以根据速度暂时更新所有粒子的位置
px[i] += dx[i] // px,py,pz make up vector P; dx,dy,dz is vector V premultiplied by dt
py[i] += dy[i] // Which means that we could use "particle 0" as a fixed origin
pz[i] += dz[i] // except you can't collide with the origin, since it's virtual
然后检查整个N *（N-1）/ 2阵列并暂时计算每对粒子之间的新相对距离。
dx1 = dx + sx
dy1 = dy + sy
dz1 = dz + sz
DN = dx1*dx1+dy1*dy1+dz1*dz1 # This is the new distance
如果DN <粒径为D的D ^ 2，刚刚过去的dt中发生了碰撞。
然后你可以准确计算出这种情况发生的位置，即你计算碰撞的确切距离，你可以从旧的距离平方D2（dx * dx + dy * dy + dz * dz）和新DN进行计算：它
d't = [(SQRT(D2)-D)/(SQRT(D2)-SQRT(DN))]*dt
（在时间dt内以覆盖距离SQRT（D2）-SQRT（DN）的速度减小从SQRT（D2）到D的距离所需的时间）。 这使得假设从粒子i的参考框架看到的粒子j没有“过度”。
这是一个更加沉重的计算，但是当你发生碰撞时你只需要它。
知道了d，并且d“t = dt-d't，你可以使用dx * d't / dt等在Pi和Pj上重复位置计算，并获得粒子i和j的精确位置P.在碰撞瞬间;你更新速度，然后将其整合为剩余的d“t并在时间结束时得到位置。
请注意，如果我们停在此处，如果发生三粒子碰撞，此方法将会中断，并且只会处理两粒子碰撞。
因此，我们只是标记在粒子（i，j）的d t处发生碰撞而不是运行计算，并且在运行结束时，我们保存发生碰撞的最小值，并且在谁之间。
即，我们检查粒子25和110并发现0.7 dt的碰撞;然后我们发现在0.3 dt时110和139之间发生碰撞。没有早于0.3 dt的碰撞。
我们进入碰撞更新阶段，并“碰撞”110和139并更新它们的位置和速度。然后对每个（i，110）和（i，139）重复2 *（N-2）计算。
我们将发现可能仍然存在与粒子25的碰撞，但是现在在0.5 dt，并且可能，例如，另一个在0.9和80之间的139和80之间。 0.5 dt是新的最小值，因此我们重复25到110之间的碰撞计算，并重复，在算法中每次碰撞都会有轻微的“减速”。
如此实施，现在唯一的风险是“鬼魂碰撞”，即粒子在D>在时间t-dt从目标起的直径，并且在D>在时间t，直径在另一侧。
这只能通过选择一个dt来避免，以便在任何给定的dt中没有粒子的行程超过其自身直径的一半。实际上，您可以根据最快粒子的速度使用自适应dt。幽灵掠过碰撞仍然是可能的;进一步的改进是基于任何两个粒子之间的最近距离来减小dt。
这样，算法确实在碰撞附近显着减慢，但是当碰撞不太可能时，它会大大加速。如果两个粒子之间的最小距离（我们在循环期间几乎没有成本计算）是这样的，那么最快的粒子（我们也几乎没有任何成本发现）不能在不到50分的时间内覆盖它，那就是4900 ％速度增加。
无论如何，在无冲突的通用情况下，我们现在已经完成了五个总和（实际上更像是由于数组索引的三十四个），三个产品和每个粒子对的几个赋值。如果我们包含（k，k）对来考虑粒子更新本身，我们到目前为止有一个很好的近似成本。
这种方法的优点是O（N ^ 2） - 它随着粒子的数量而变化 - 而不是O（M ^ 3） - 随着所涉及的空间体积而缩放。
我希望现代处理器上的C程序能够实时管理数万个数量级的粒子。
P.S。：这实际上非常类似于Nicolas Repiquet的方法，包括在多次碰撞的4D附近减速的必要性。
答案 4 :(得分：1)
直到两个粒子之间（或粒子与墙壁之间）发生碰撞，整合才是微不足道的。这里的方法是计算第一次碰撞的时间，积算到那时，然后计算第二次碰撞的时间，依此类推。我们将tw[i]定义为i粒子击中第一个墙所需的时间。尽管你必须考虑球体的直径，但它很容易计算。
计算两个粒子tc[i,j]和i之间碰撞的时间j会花费更多的时间，并从距离的研究中得出{{1} }：
d
我们研究是否存在d^2=Δx(t)^2+Δy(t)^2+Δz(t)^2正为t，即d^2=D^2粒子的直径（或粒子的两个半径的总和，如果你想要它们不同的话） ）。现在，考虑RHS总和的第一项，
D
Δx(t)^2=(x[i](t)-x[j](t))^2=
Δx(t)^2=(x[i](t0)-x[j](t0)+(u[i]-u[j])t)^2=
出现的新术语定义了Δx(t)^2=(x[i](t0)-x[j](t0))^2+2(x[i](t0)-x[j](t0))(u[i]-u[j])t + (u[i]-u[j])^2t^2坐标的两个粒子的运动定律，
x
x[i](t)=x[i](t0)+u[i]t
和x[j](t)=x[j](t0)+u[j]t是初始配置的时间。然后让t0成为(u[i],v[i],w[i]) - 粒子的速度的三个分量。对其他三个坐标和总结做同样的事情，我们得到i中的二阶多项式方程，
t，
，其中
at^2+2bt+c=0
a=(u[i]-u[j])^2+(v[i]-v[j])^2+(w[i]-w[j])^2
b=(x[i](t0)-x[j](t0))(u[i]-u[j]) + (y[i](t0)-y[j](t0))(v[i]-v[j]) + (z[i](t0)-z[j](t0))(w[i]-w[j])
现在，有许多标准来评估真实解决方案的存在等等......如果您想要优化它，可以在以后评估。在任何情况下，您都会获得c=(x[i](t0)-x[j](t0))^2 + (y[i](t0)-y[j](t0))^2 + (z[i](t0)-z[j](t0))^2-D^2，如果它是复数或负数，则将其设置为加号无穷大。要加快速度，请记住tc[i,j]是对称的，并且您还希望将tc[i,j]设置为无穷大以方便使用。
然后，您获取数组tc[i,i]和矩阵tmin的最小tw，并及时整合tc。
您现在将tmin减去tmin和tw的所有元素。
如果与tc粒子的墙壁发生弹性碰撞，您只需翻转该粒子的速度，并仅为其他每个粒子重新计算i和tw[i] { {1}}。
如果两个粒子发生碰撞，您会为每个其他tc[i,k]重新计算k和tw[i],tw[j]。在3D中评估弹性碰撞并非易事，也许你可以使用这个
http://www.atmos.illinois.edu/courses/atmos100/userdocs/3Dcollisions.html
关于流程如何扩展，您的初始开销为tc[i,k],tc[j,k]。然后，两个时间步长之间的积分为k，撞到墙或碰撞需要O(n^2)重新计算。但真正重要的是碰撞之间的平均时间如何与O(n)成比例。在统计物理学中应该有一个答案： - ）
如果您想根据时间绘制属性，请不要忘记添加更多中间时间步。
答案 5 :(得分：0)
您可以定义粒子之间的排斥力，与1 /（距离平方）成比例。在每次迭代时，计算粒子对之间的所有力，加上作用在每个粒子上的所有力，计算粒子加速度，然后计算粒子速度，最后计算粒子新位置。冲突将以这种方式自然处理。但是处理粒子与墙之间的相互作用是另一个问题，必须以其他方式处理。