使用scipy.integrate.ode自适应步长

Question

scipy.integrate.ode的（简要）文档说两种方法（dopri5和dop853）具有步长控制和密集输出。看一下示例和代码本身，我只能看到从集成器获取输出的一种非常简单的方法。也就是说，看起来你只需要通过一些固定的dt向前推进积分器，获得当时的函数值，然后重复。

我的问题的时间尺度变化很大，所以我想在需要评估的任何时间步骤中获取值，以达到所需的公差。也就是说，在早期，事情正在缓慢变化，因此输出时间步长可能很大。但随着事情变得有趣，输出时间步长必须更小。我实际上并不想要等间隔的密集输出，我只想要自适应函数使用的时间步长。

编辑：密集输出

一个相关的概念（几乎相反）是“密集输出”，其中所采取的步骤与步进器要采取的步骤一样大，但是函数的值是内插的（通常精度与步进器的精度相当）无论你想要什么。 scipy.integrate.ode底层的fortran显然能够做到这一点，但是ode没有接口。另一方面，odeint基于不同的代码，并且显然确实执行密集输出。 （您可以在每次调用右侧时输出以查看何时发生，并看到它与输出时间无关。）

所以我仍然可以利用自适应性，只要我能够提前确定我想要的输出时间步长。不幸的是，对于我最喜欢的系统，我甚至不知道大概的时间尺度是什么时间函数，直到我运行集成。因此，我必须将采用一个积分器步骤的想法与这种密集输出的概念结合起来。

编辑2：再次密集输出

显然，scipy 1.0.0通过新界面引入了对密集输出的支持。特别是，他们建议远离scipy.integrate.odeint和scipy.integrate.solve_ivp，作为关键字dense_output。如果设置为True，则返回的对象具有属性sol，您可以使用一系列次数调用该属性，然后在这些时间返回集成函数值。这仍然没有解决这个问题的问题，但在许多情况下它很有用。

Answer 1

我一直在考虑这个尝试获得相同的结果。事实证明，你可以通过在ode实例化中设置nsteps = 1来使用hack来获得逐步结果。它会在每一步生成一个UserWarning（可以捕获并抑制它）。

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt
import warnings


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01
t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

#backend = 'vode'
backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'

solver = ode(logistic).set_integrator(backend, nsteps=1)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)
# suppress Fortran-printed warning
solver._integrator.iwork[2] = -1

sol = []
warnings.filterwarnings("ignore", category=UserWarning)
while solver.t < t1:
    solver.integrate(t1, step=True)
    sol.append([solver.t, solver.y])
warnings.resetwarnings()
sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

Answer 2

自SciPy 0.13.0以来，

  

来自dopri ODE解算器系列的中间结果可以   现在可以通过solout回调函数访问。

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01
t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

backend = 'dopri5'
# backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend)

sol = []
def solout(t, y):
    sol.append([t, *y])
solver.set_solout(solout)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)
solver.integrate(t1)

sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

结果似乎与Tim D's略有不同，尽管他们都使用相同的后端。我怀疑这与dopri5的FSAL属性有关。在Tim的方法中，我认为第七阶段的结果k7被丢弃，因此重新计算k1。

注意：已知bug with set_solout not working if you set it after setting initial values。它固定为SciPy 0.17.0。

Answer 3

integrate方法接受一个布尔参数step，它告诉方法返回单个内部步骤。然而，似乎'dopri5'和'dop853'解算器不支持它。

以下代码显示了在使用'vode'解算器时如何获取求解器所采取的内部步骤：

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01

t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

backend = 'vode'
#backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)

sol = []
while solver.successful() and solver.t < t1:
    solver.integrate(t1, step=True)
    sol.append([solver.t, solver.y])

sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

Answer 4

仅供参考，虽然已经接受了答案，但我应该指出历史记录，PyDSTool本身支持沿计算轨迹的任何位置的密集输出和任意采样。这还包括求解器内部使用的所有自适应确定的时间步长的记录。这与dopri853 and radau5接口并自动生成与它们接口所必需的C代码，而不是依赖（慢得多）python函数回调来进行右侧定义。据我所知，在任何其他以python为中心的解算器中，这些特性都没有本地或有效提供。

Answer 5

此处的另一个选项也适用于dopri5和dop853。基本上，解算器会根据需要经常调用logistic()函数来计算中间值，以便我们存储结果：

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt

sol = []
def logistic(t, y, r):
    sol.append([t, y])
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01

t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0
# Maximum number of steps that the integrator is allowed 
# to do along the whole interval [t0, t1].
N = 10000

#backend = 'vode'
backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend, nsteps=N)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)

# Single call to solver.integrate()
solver.integrate(t1)
sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()