球体上的蒙特卡罗模拟：无偏随机步骤

Question

我正在使用球体上的粒子进行大都会蒙特卡罗模拟，并且在给定时间步长中有关于随机运动的问题。

我理解为了在球体上获得随机点的均匀分布以开始它是不够的，使用天真最简单的方法（使用具有常数R的球面坐标并选择随机角度theta和phi），但是必须例如，使用以下方法之一：http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html

查看球体上蒙特卡罗的另一个代码，我看到一种生成随机移动的相当复杂的方法：选择一个随机粒子，计算将其移动到北极的旋转矩阵，找到一个小于某个值的随机笛卡尔向量长度并将其移动到北极，标准化笛卡尔矢量，然后将其旋转回原始粒子位置附近。

这是为了获得一个无偏见的新随机位置。虽然我怀疑它与详细的平衡有关，但我完全不理解这个理由。但我的感觉是应该有一种更简单（即更快）的方式来做到这一点。实际上，直觉上我觉得在这种情况下可以找到两个小的随机角度theta和phi并将它们添加到粒子的位置 - 或者这会是一个错误吗？

Answer 1

您描述的算法背后的基本原理是该点被映射到一个极点，一个切线平面被生成，一个笛卡尔向量以通常的方式均匀生成，然后被映射回球体，并且旋转是终于逆转了。由于切平面是导数，对于大球体和小步长，这是一个很好的近似值。

我们可以做得更好吗？或者至少偷别人的代码？也许。考虑一下：由于article on MathWorld，您已经可以在球体上生成随机点的均匀分布。

在不失一般性的情况下，您可能会认为您当前的观点是球体的极点。如果使用MathWorld算法生成随机点，则您知道结果点具有处于任何方位角的均匀概率。

然后问题被减少为在球体上找到一个方位，给定两个点的phi / theta值，然后沿着该轴承的大圆路径生成一个新的点增量表面距离。

对于此问题的新版本，您可以通过导入自己喜欢的GIS或projection库并使用地球的球形模型（具有适当的缩放比例）来获取所需的所有代码。

很多人似乎都提到this site在球形导航方面有很多好的数学。

Answer 2

我想自己使用评论来回答上述评论，但我不能使用为评论保留的有限空间来做到这一点。如果这违反了准则，我很抱歉。

既然你问过，以防其他人在这里结束 - 我对这个问题有了新的见解：

我们真正需要担心的是详细的平衡;如果P（a）是处于状态a的概率而P（a-> b）是转换到状态b的概率，则详细平衡需要P（a）P（a-> b）= P（ b）P（B-＆gt;一种）。

如果P（b）/ P（a）> P，则大都市算法基本上通过使P（a-> b）= 1来满足这一点。另外，1和P（a-> b）= P（b）/ P（a）。在我的（量子力学）系统中我使用P（a）〜| psi（a）| ^ 2，波函数平方（在统计力学应用中我猜我们会用P（a）~exp [-β* E]） 。

在球体上使用此问题的问题是在角度空间{theta，phi} = {t，p}中从均匀分布获得的步骤如下：假设我们处于给定角度t的点（从北极沿z轴测量一个角度）。从表面元素dS = sin（t）dt dp我们看到，如果我们的随机角位移是Dt和Dp，则所选择的新试验点位于区域S = 4 * Dp * sin（Dt）* sin（t）内，所以选择给定点p_b的机会是~1 / S~1 / sin（t）。

除了评估| psi（a）| ^ 2之外，这个尝试给定点的概率当然会影响P（a-> b）;事实上，我们看到它会将后者与sin（t）因子分开。因此，保持详细平衡的一种简单方法是乘以相同的：P（a-> b） - > P（a-> b）sin（t）其中t是粒子a的θ角。

这将恢复详细的平衡。另一个问题是这将如何影响收敛等，因为极点附近的粒子现在具有较小的步长但接受概率较大。