找到一点到曲线上点的最小距离的最快方法

Question

我正在寻找以下问题的快速解决方案：

我有一个固定点（比如说白色测量线的右上角），需要找到由等间距点（下面的曲线）构成的曲线上的最近点。另外，我对上曲线上的每个点执行此操作，以绘制具有不同颜色的曲线之间的距离（三个级别：低于最小值[红色]，最小值和最大值[橙色]之间以及高于最大值[绿色]）。

我目前的解决方案是权衡：我采用固定点，迭代任意间隔（例如固定点左侧和右侧50个单位）并计算每对的距离。这节省了一些CPU功率，但它既不优雅也不准确，因为我可能会错过我选择的间隔之外的最小距离。

有关更快算法的任何建议吗？

编辑：等间距意味着所有点在x轴上具有相同的距离，这对于两条曲线都是如此。此外，我不需要在点之间进行插值，这将非常耗时。

Answer 1

而不是任意距离，你可以迭代直到“超出范围”。

在您的示例中，假设您从行右上角的上部曲线上的点开始。然后垂直向下，你（我的眼睛）的距离约为200um。

现在您可以从此处测试点向右移动，直到水平距离为200um。除此之外，距离不到200um是不可能的。

向左移动，距离下降，直到找到150um最小值，然后再次开始上升。一旦你在你的高点左侧150um，再次，你不可能击败你找到的最低点。

如果你先离开，你就不必走得那么远，所以优化要么遵循距离下降的方向，要么一次从中间向两个方向进行。

我不知道有多少是50个单位，所以这可能比你的速度慢或快。但它确实避免了错过较低值的风险。

由于您正在对下曲线上的同一组点进行大量测试，因此可以通过忽略这些点形成曲线的事实来合理地改进。将它们全部粘贴在k-d树或类似物中，并反复搜索。它被称为Nearest neighbor search。

Answer 2

将此问题识别为nearest neighbour search问题可能会有所帮助。该链接包括对用于此的各种算法的良好讨论。如果您可以使用C ++而不是直接使用C语言，ANN看起来就像是一个很好的库。

看起来好像这个问题是asked before。

Answer 3

我们可以标出顶部曲线y = t（x）和底部曲线y = b（x）。标记最近函数x_b = c（x_t）。我们知道最近函数是弱单调不递减的，因为两条最短路径永远不会相互交叉。

如果您知道距离函数d（x_t，x_b）对于每个固定的x_t只有一个局部最小值（如果曲线“足够平滑”，则会发生这种情况），那么您可以通过“行走”曲线来节省时间：

- start with x_t=0, x_b=0
- while x_t <= x_max
-- find the closest x_b by local search
     (increment x_b while the distance is decreasing)
-- add {x_t, x_b} to the result set
-- increment x_t

如果你期望x_b足够平滑，但是你不能假设它并且你想要一个确切的结果，

沿两个方向走弯道。如果结果一致，它们是正确的。在他们不同意的地方，在两个结果（最左边和最右边的局部最大值）之间进行完整搜索。以这样的顺序（二元除法）对“模糊块”进行采样，以便由于单调性而进行最多的修剪。

作为中间立场：

沿两个方向走弯道。如果结果不一致，请从两者中选择。如果每个固定的x_t最多可以保证两个局部最大值，则可以得到最优解。仍然存在一些病理情况，其中没有找到最优解，并且包含局部最小值，其侧翼是两个比这个更差的局部最小值。我敢说，找到一个解决方案远非最优的情况并不常见（假设平滑y = b（x））。