Question

我已经尝试确定递归关系给出的运行时间，但我的结果不正确。

复发

T(n) = c + T(n-1) if n >= 1
     = d          if n = 0

我的尝试

我构造了这个递归树：

                   n
                   |
                  n-1
                   |
                  n-2
                   |
                  n-3
                   |
                  n-4
                   |
                  n-5
                   |
                   |
                   |
                   |
                   |
                   |
                Till we get 1

现在处于i级别，子问题的大小应为n-i

但最后我们想要一个大小为1的问题。因此，在最后一级，n-i=1给出了i=n-1。

因此，树的深度变为n-1，高度变为n-1+1= n。

现在解决这个递归所需的时间=树的高度*每个级别所需的时间是：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ...
==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... )
==> n - (n(n+1)/2)

现在所花费的时间= n *（（n-n2）/ 2），它应该使顺序为n ²，但这不是正确的答案。

Answer 1

现在在第i级，子问题的大小应该是，n-i

是的，这是正确的。但是你假设，运行时等于所有子问题大小的总和。试想一下，已经总结前两个级别给出n + (n - 1) = 2n - 1，为什么问题规模会增加？ _{免责声明：有点手写，而不是完全准确的陈述。}

公式实际上是什么

T(n) = c + T(n-1)

公式说，为某些n求解它需要花费相同的时间来解决问题大小少一点，加上一个额外的常量c ：c + T(n - 1)

将上述陈述放在上面的另一种方法是：如果问题需要花费一些时间t来解决某个问题的大小问题，那么问题大小需要t + c，大一点。< / p>

我们知道，问题大小为n = 0时，需要时间d。根据第二个声明，对于另一个n = 1的大小，它将需要d + c。再次应用我们的规则，d + c + c需要n = 2。我们的结论是，任何d + n*c都必须花费n时间。

_{此不是证据。要真正证明这一点，你必须使用amit所示的归纳法。}

正确的递归树

您的递归树仅列出问题大小。我很害怕，这几乎没用。相反，您需要列出所述问题大小的运行时。

树中的每个节点都对应到某个问题大小。您在该节点中写入的内容是问题大小所需的附加时间。即您将节点的所有后代加上加上节点本身，以获得特定问题大小的运行时。

这种树的图形表示看起来像这样

Tree Corresponding problem size c n | c n - 1 | c n - 2 | c n - 3 . . . | c 2 | c 1 | d 0

正式化：如前所述，节点的标签是解决该问题大小及其所有后代所需的附加运行时。最上面的节点表示问题大小为n，带有标签c，因为它是T(n-1)的补充，它使用|连接到它。

在公式中，您只能编写此关系：T(n) = c + T(n-1)。鉴于该树，您可以看到这适用于每个n>=1。你可以这样写下来：

T(n) = c + T(n - 1) # This means, `c` plus the previous level T(n - 1) = c + T(n - 2) # i.e. add the runtime of this one to the one above^ T(n - 2) = c + T(n - 3) ... T(n - (n - 2)) = c + T(1) T(n - (n - 1)) = c + T(0) T(0) = d

您现在可以从下到上扩展术语：

T(n - (n - 1)) = c + T(0) T(0) = d T(n - (n - 2)) = c + T(1) T(n - (n - 1)) = c + d T(0) = d T(n - (n - 3)) = c + T(2) T(n - (n - 2)) = c + (c + d) T(n - (n - 1)) = c + d T(0) = d T(n - (n - 4)) = c + T(3) T(n - (n - 3)) = c + (2*c + d) T(n - (n - 2)) = c + (c + d) ... T(n) = c + T(n - 1) T(n - 1) = c + ((n-2)c + d) T(n) = c + (n-1)c + d = n*c + d T(n - 1) = (n-1)c + d

汇总1 to n

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ... ==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... ) ==> n - (n(n+1)/2)

从第一行到第二行，您已将问题从总结1 to n减少到总结1 to n-1。这不是很有帮助，因为你遇到了同样的问题。

我不确定你在第三行上做了什么，但你从第一行到第二行的转换基本上是正确的。

这将是正确的公式：

Answer 2

T(n) = c + T(n-1) 
     = c + (c + T(n-2)) 
     = ... 
     = c*i + T(n-i) 
     = ...
     = c*n + T(0)
     = c*n + d

如果我们假设c，d是常数 - 它会得到O(n)

要以数学方式证明 - 可以使用mathematical induction

每个k < n假设T(n) = c*n + d
基数为T(0) = 0*n + d = d，其对于n <1是正确的。 1

T(n) = c + T(n-1)               (*)
     = c + (n-1)*c + d 
     = c*n + d

（*）是归纳假设，并且是有效的，因为n-1＆lt; Ñ

Answer 3

复杂性为O（n）。

正如您所描述的那样，函数通过使用常量运算'c'将输入n的问题转换为（n-1）的问题。

因此，向下移动递归树，我们将总共有n个级别，并且在每个步骤中我们需要一些常量操作'c'。

因此将会有总c * n运算导致复杂度O（n）。

递归树排序

3 个答案:

公式实际上是什么

正确的递归树

汇总`1 to n`

递归树排序

3 个答案:

公式实际上是什么

正确的递归树

汇总1 to n

汇总`1 to n`