Question

我正在阅读一篇关于在geekforgeeks解决Longest Common Subsequence问题的文章，其中有两个解决方案，一个是递归的，另一个是通过二维数组通过DP。 DP解决方案在O(NM)时间执行此操作，而递归操作在O(2^N)时间执行。

递归解决方案的主要问题是子序列重叠的发生，如此处所示。但是，如果我将每个对存储在一个散列中，那么下次该函数的递归需要该值时，它可以直接从散列中获取值而不是进一步递归。那么这个增加多少会提高效率呢？它会来O(NM)吗？

其次，递归解决方案如何产生O(2^N)时间？如何找出像这样的递归函数的复杂性，或者找到斐波那契序列等的复杂函数？

Answer 1

是的，使用哈希会使其成为O(NM)。在这种情况下，该过程称为memoization（是的，没有r）。只要确保你没有使用你选择的语言提供的实际hashmap容器，使它成为一个简单的矩阵：如果当前对的值是-1，则递归计算它，否则假设它已经被计算并将其归还。

关于你的第二个问题，你可以通过数学方法做到最好的约束，或者像你的链接一样在纸上画出来“足够好”：

                f(n)
               /    \
         f(n-1)      f(n-2)
        /     \        
  f(n-2)       f(n-3)
          ...

这应足以归纳地建议它为O(2^n)：树的高度为n，并且在每个节点上，您有两个递归调用，可以减少大小{{1大小n（将为n - 1）。因此O(2^(n - 1)原始问题的大小为n。

请注意，说斐波那契是O(2^n)并不是错误的，但你可以与其他数学方法更紧密地结合。