具有依赖性的嵌套循环的公式

Question

  

可能重复：
  Big O: Nested For Loop With Dependence

鉴于以下嵌套循环，我必须弄清楚它的Big O复杂性：

for(i=0 to n)
    for(j=n-1;j>=i;j--)

我知道这个的复杂性将是O(n^2)，但我不确定如何找出内循环的公式。

为了清楚起见，我写了一张桌子：

n=10
i | j | outer iters | inner iters
0 | 9 |     1       |     10
1 | 9 |     2       |      9 
...
9 | 9 |    10       |      1

因此，外循环运行n次，而内循环运行sum(n to n-9)。

我被告知答案是n(n-2)/2，而我根本无法弄清楚如何从我拥有的东西中得到这个结论。

非常感谢协助。

Answer 1

观察外循环每次迭代执行内循环的次数。

When i=0, the inner loop has n iterations.
When i=1, the inner loop has n-1 iterations.
When i=2, the inner loop has n-2 iterations.
......
When i=k, the inner loop has n-k iterations.
.....
When i=n-2, the inner loop has 2 iterations.
When i=n-1, the inner loop has 1 iterations.

因此内循环的迭代总数为1 + 2 + ... +（n-2）+（n-1）+ n，等于n（n + 1）/ 2。 / p>

Answer 2

将整数1和n相加是众所周知的高斯特里克：

_{（请注意它是+ 1，而不是- 2）}

建立直觉

这是一种直观的方式来了解为什么这个公式是正确的：

尝试使用1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

自行查看

证明我们的直觉

但是，如果没有偶数条款怎么办？它还能用吗？它适用于任何数量的术语吗？要回答这个问题，我们最能证明这一点 假设：

用一种叫做数学归纳的概念 为此，我们首先需要建立一个基本案例，在本例中为n = 1，这是非常正确的。

现在，对于归纳步骤。我们假设，我们已经证明了我们对某些n的假设，基于这些知识，我们希望证明它也适用于n + 1。如果这成功，我们已经“神奇地”证明了所有自然数字。 为什么？我们已经证明它适用于n = 1，n => n + 1步骤意味着现在已经证明n = 2，这意味着n = 3也证明了它1}}等等。这是一种多米诺骨牌效应，第一次倾斜将让所有其他人失败（证明）。

在假设中用n替换n + 1给出了我们归纳步骤的结果。因此，我们已经证明所有n的公式都是正确的。

Answer 3

第一次迭代

- 内循环n-1次 第二次迭代 - 内循环n-2次 等等

用于n-1次迭代 - 内部循环1次

总迭代次数=（n-1）+（n-2）+ .. 2 + 1 = n（n-1）/ 2

是n ^ 2-n / 2，属于O（n ^ 2） 因为我们可以把它写成 如果f（n）= n ^ 2-n / 2 和g（n）= n ^ 2

我们可以把它写成 0℃; = F（N）＆LT; = C，G（n）的 对于c> 0 n0> 0 这里n大于n0