检查由3个点定义的角度是内部还是外部

Question

在给定一组折线的情况下，我发现角度类型的检测存在问题（无论是内部还是外部是否是轴的原点）。 我发现了几十个非常相似的问题，但是没有一个问题解决了我的问题，所以我把它放在这里希望能有一些问题出现。

我所拥有的是一组折线。我需要找到角度（给定的公差接近矩形），并将它们分类为内部或外部。

对于每条折线，我将顶点3乘3，我能够识别中心点是否是角度，并将其值测量为0到180度之间的数字。

现在我需要给这个角度一个方向（让我们说一个符号，如果急性瞄准远离原点则为负，如果它朝向中心则为正），我想我会用其中一个实现它。以下2种方法，但没有一种方法有效。

1）只是'2d交叉产品的标志'（我知道这不是数学上正确的术语）：

//given 3 contiguous vertices a,b,c
//check if b is a inner (+1) or outer (-1) vertex (0 in other cases)

double cross = ((b.x - a.x)*(c.y - a.y)) - ((b.y - a.y)*(c.x - a.x));

if(cross > 0){
  return 1;
} else if (cross < 0) {
  return -1;
}
return 0;

但它似乎只能在左下象限中起作用，在右上方完全以相反的方式起作用，而它在其他方面起作用，我无法理解为什么。

2）比较顶点的范数

if b.norm() < a.norm() && b.norm() < c.norm 
then return +1
else return -1

这仅适用于基本情况，并且整体上没有穿过轴的折线（包含原点）。我可以查看所有案例，但我宁愿避免这种情况。

显然，有更安全的方法，例如检查顶点是否位于原点的同一侧，而不是位于2个向量上的2个邻居之间的线路。但我需要尽可能地优化它

Answer 1

简短版本：

将来自中心点的两个角度向量描述为a和b。并将中心点到原点的矢量描述为center。

如果出现以下情况，角度将被描述为“内部”：

dot( a + b, center ) > 0.0 && dot( cross( a, center ), cross( b, center ) ) < 0.0

解释：

这可以通过同时使用交叉产品和点积来解决。 （幸运的是，没有任何角度。这可以通过添加，乘法和比较完全解决。）

在这里，分两步解决。

<强> 1。角度指向更多朝向原点而不是远离

如果通过对两个角度向量求和来定义“角度指向的方向”，则角度指向指向而不是远。

请注意，如果 a 和 b 的各个长度不同，则可能会出现一些不正确的边缘情况广角。规范化 a 和 b 将解决此问题。

`dot( a + b, center ) > 0.0`

<强> 2。向量a和b是否指向原点的相对侧？

如果他们的交叉积指向相反的方向，则a和b指向原点的相对侧。

`dot( cross( a, center ), cross( b, center ) ) < 0.0`

当且仅当这两者都为真时，你的角度被定义为“内在”。

Answer 2

要检测角度abc是否在内部，您必须检查向量b0（从b到原点）是否是向量ba和bc的凸组合。

如果向量px + qy是向量p1x + q1y和p2x + q2y的凸组合，则存在正常数r和s，使得r *（p​​1，q1）+ s *（p2，q2）=（p ，q）。如果我们用代数求解r和s，我们得到r =（pq2-p2q）/（p1q2-q1p2）和s =（p1q-pq1）/（p1q2-q1p2）。如果r和s都是正数，则abc是内部的。

Answer 3

就个人而言，我只会使用点积。具体来说（如果a代表从你的顶点到的向量，b和c是你的边缘向量指向的顶点），如果a dot b和a dot c均为正，则角度为外。否则就是内心。

但我对你对'内在'和'外在'的真正定义感到有点困惑......