Question

我最近解决了河内塔问题。我用“分而治之”策略来解决这个问题。我将主要问题分成了三个较小的子问题，因此产生了重复发生。

T（N）= 2T（N-1）+1

解决这个问题导致

O（2 ^ n）[指数时间]

然后我尝试使用memoization技术来解决它，但是这里空间复杂度也是指数级的，并且堆空间很快耗尽，并且对于较大的n，问题仍然是无法解决的。

有没有办法在不到指数时间内解决问题？什么是解决问题的最佳时间？

Answer 1

您可以解决重复问题并获得封闭表格。

T（n）= 2 * T（n-1）+ 1

T（n）= 2 *（2 * T（n-2）+ 1）+ 1

T（n）=（2 ^ 2）* T（n-2）+ 2 ^ 1 + 2 ^ 0

T（n）=（2 ^ k）* T（n-k）+ 2 ^（k-1）+ 2 ^（k-2）+ ... + 2 ^ 0

解决这个关闭来自

T（n）=（2 ^ n）-1，T（0）= 0

现在通过平方来使用取幂。

Answer 2

这取决于“解决”的意思。具有3个钉子和n磁盘的河内塔问题需要2**n - 1个移动才能解决，所以如果你想要枚举这些移动，那么从枚举{你明显不能比O(2**n)做得更好{1}}事情是k。

另一方面，如果您只想知道所需的移动次数（不计算它们），计算O(k)的操作要快得多。

另外值得注意的是，可以使用2**n - 1空间复杂度迭代地完成移动的枚举，如下所示（O(n)是最小的磁盘）：

disk1

Answer 3

不幸的是，在更短的时间内解决这个问题是不可能的，因为改变所有河内塔位置所需的移动次数是指数级的。所以最好的解决方案是根据步骤数O（T）线性，所以尾数的解是指数O（2 ^ n）

Answer 4

正好有2 ^ n-1个动作，所以为了列出它们，我们不能比O（2 ^ n）时间复杂度做得更好。

在O（1）中可以枚举必要的移动（如果采用任意大小的整数，则为O（log n））空间：

(define (fbs n i) (if (even? n) (fbs (/ n 2) (+ i 1)) i))

(define (fb n) (fbs n 1))

(define (hanois n i m) 
  (
    cond 
    ((= i m) "DONE")
    (else 
          (define k (fb i))
          (print "move disk " k " " (if (even? (+ n k)) "left" "right"))
          (hanois n (+ 1 i) m))))

(define (hanoi n) (hanois n 1 (expt 2 n)))

[方程式]

请注意，此算法由于算术而具有log n的开销（并且算法fb找到最低有效位集的位置）。涉及计数器上任何类型的递增/递减的任何天真解决方案都将具有相同的开销。

Answer 5

这取决于你接受什么样的表示。想象一下以下代表：

OneMove
    from : integral
    to   : integral

Solution
    step_one   : optional reference to Solution
    step_two   : OneMove
    step_three : optional reference to Solution

这样的表示实际上可以以线性复杂度创建，因为有很多重复。

我刚尝试过，为64号高度构建了这样的解决方案不到一毫秒。当然，踩过它仍然需要 2 ⁿ -1步。

您没有指定语言，但如果您想在C ++中使用代码，请删除一行。

河内塔的复杂性？

5 个答案: