Question

我有一种列表，其头部和尾部必须具有某种意义并且＃34;兼容＆＃34;：

Inductive tag := A | B. (* Just an example *)

Inductive element : tag -> tag -> Set :=
  | AA : element A A
  | AB : element A B
  | BB : element B B. (* Also just an example *)

Inductive estack : tag -> tag -> Set :=
  | ENil  : forall     t,                              estack t t
  | ECons : forall r s t, element r s -> estack s t -> estack r t.

但是，由于以下原因，我不太喜欢这段代码：

它不是模块化：ad-hoc列表数据构造函数本质上与头部和尾部兼容的证明 - 标签。
它不支持代码重用：我被迫重新定义通常的列表函数（例如列表连接）并重新证明通常的列表定理（例如列表连接的关联性）。

我有一个不同的方法，包括三个步骤：

定义单一类型的标记元素（与标记类型的元素系列相对）：

Inductive taggedElement := Tagged : forall t1 t2, element t1 t2 -> taggedElement.

定义标记元素的任意（即有效或无效）列表类型：
```
Definition taggedElementStack := list taggedElement.
```

将标记元素的有效列表定义为元组，其元素是标记元素和的任意列表，证明元素与相邻元素兼容的。

(* I have no idea how to do this in Coq, hence the question!
 * 
 * I am going to use pseudomathematical notation. I am not well versed in either
 * mathematics or theoretical computer science, so please do not beat me with a
 * stick if I say something that is completely bogus!
 * 
 * I want to construct the type
 * 
 *     (tes : taggedElementStack, b : proof that P(tes) holds)
 * 
 * where P(tes) is a predicate that is only true when, for every sublist of tes,
 * including tes itself, the heads and tails are compatible.
 *)

我如何在Coq中执行第三步？

Answer 1

看看你的estack，它有什么作用？概括！ element只是一种关系（A -> A -> Set），tag只是Set。你得到了什么？

Inductive RTList {I : Set} (X : Rel I) : Rel I :=
  | RTNil  : forall {i : I}, RTList X i i
  | RTCons : forall {i j k : I},    X i j -> RTList X j k -> RTList X i k.

（Rel只是Rel I = I -> I -> Set的定义。）

反身传递闭合！是常见的，可重用的和模块化的。或者你认为。

我在Coq的库中找到的唯一实现是在Coq.Relations.Relation_Operators，名为clos_refl_trans，结构不同并锁定在Prop（根据文档，所有都没有尝试）。

你可能不得不重新实现它或在某个地方找到一个库。至少，您只需执行一次此操作（或Set，Prop和Type最多三次。

你的另一个想法可能会更难管理。查看NoDup与您的描述类似的内容，您可以重用该模式。如果你真的想要那个。 NoDup使用In，这是一个检查元素是否在列表中的函数。我最后一次尝试使用它时，我发现解决涉及In的证据要困难得多。你不能只是destruct但是必须使用辅助引理，你必须小心地展开$ n级别，折回很难等等。我建议除非真的有必要，否则你最好坚持下去包含Prop s。

的数据类型

将要操作的数据与操作合理的证明分离

1 个答案: