分配整数对

Question

如何解决这个问题：
我们给出N对整数。对于每对整数，我们必须将一个整数分配给A，将另一个整数分配给B，这样分配给A的整数和分配给B的整数之和之间的差值最小。
我想不出比O（2 ^ N）更好的东西。
我想到了贪婪，但并不总能给出最佳结果。

Answer 1

将问题转化为：

给定：一系列非负整数（原始对之间的绝对差异）
问题：将整数划分为两组，以便最小化每个子集的元素总和的绝对差异。

这是NP完整的Balanced Partition Problem。这两个问题是等价的;也就是说，您可以将平衡分区问题转换为您的问题：关联序列，对于序列的每个元素n _i ，整数对（n _i ，0）。因此，你不会比O（2 ^N ）做得更好。

问题：为每个整数分配一个符号（加号/减号），使得序列总和的绝对值最小。

我怀疑 ^* 如果你先按降序对序列进行排序，那么贪婪算法会给出最佳结果。这将是一个O（N log N）算法。

（ ^* ）如果我错了，请发一个反例。

Answer 2

令对为（A_0，B_0），...，（A_n，B_n）。设D_i = | A_i-B_i |。那么你的问题相当于选择D_i的符号来最小化和，这相当于找到D_i的一个子集，它总和为总和的一半，相当于子集和，即NP-complete。所以你不会比2 ^ n做得更好。

除非：如果数字很小，您可以尝试动态编程方法：如果您可以使用D_0，..，D_i选择与n求和的子集，则DP [i] [n]为真。首先DP [0] [0]为真，如果DP [i] [n]为真或DP [i] [nD [i + 1]]为真，则DP [i + 1] [n]为真真正。 该解决方案是O（n *（最大可能总和））