使用float的系列之和

Question

我计算了该系列的前20个元素 -

以两种方式，第一种 - 前锋，第二种 - 后退。为此我做了 -

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

float sumSeriesForward(int elementCount) {
    float sum = 0;
    for (int i = 0; i < elementCount; ++i) {
        sum += (float) 1 / (pow(3, i));
    }
    return sum;
}

float sumSeriesBack(int elementCount) {
    float sum = 0;
    for (int i = (elementCount - 1); i >= 0; --i) {
        sum += (float) 1 / (pow(3, i));
    }
    return sum;
}

int main() {
    cout.precision(30);
    cout << "sum 20 first elements - forward: " << sumSeriesForward(20) << endl;
    cout << "sum 20 first elements - back: " << sumSeriesBack(20) << endl;
}

我得到了 -

sum 20 first elements - forward: 1.5000001192092896
sum 20 first elements - back: 1.5

有人可以解释为什么两种方式之间有区别？

Answer 1

通常，浮点数不能准确表示值。当您对值进行操作时，会传播错误。在您的示例中，向后计算时，您会向较大的数字添加小值，很可能到目前为止，小数字的总和会对较大的数字产生影响。另一方面，当你向前计算时，你会从大数字开始，而较小的数字对它的影响会更小。也就是说，总结时，你总是希望将最小值加到最小值。

只需考虑将一笔金额保留在固定的位数即可。例如，保留4位数字，并将这些数字从上到下和从下到上加起来：

values   top to bottom   bottom to top
10.00      10.00            10.01
0.004      10.00            0.010
0.003      10.00            0.006
0.002      10.00            0.003
0.001      10.00            0.001

浮点数的工作方式相同，使用固定数量的[二进制]数字。

Answer 2

要在汇总数字时提高准确度，请考虑Kahan summation algorithm。与显而易见的方法相比，这显着降低了误差（包括从最小到最大的总和）。