Question

使用C ++中的Robert Sedwick一书自我阅读算法

一个递归函数，它将大小为N的问题分成两部分   它解决递归调用自身的独立（非空）部分   少于N次。

如果部件是尺寸为k且尺寸为N-k的部件之一，则为总数   我们使用的递归调用的数量是T（n）= T（k）+ T（n-k）+ 1，对于   N> = 1，T（1）= 0。

溶液T（N）= N-1通过诱导立即产生。如果尺寸总和为   小于N的值，表示调用次数小于   N-1遵循相同的归纳论证。

我对上述文字的疑问是

作者如何通过归纳来获得解决方案T（N）= N-1？请帮助我理解。
作者的意思是“如果大小总和为小于N的值，则调用次数小于N-1的证据来自相同的归纳论证”？

我是数学归纳的新手，因此难以理解。

感谢您的时间和帮助

Answer 1

（1）通过归纳：

T(1) = 0 (base)
T(N) = T(k) + T(N-k) + 1 (definition of problem)

我们假设每个n < N，我们得到T(n) = n-1 由于k和N-k都小于N，我们从归纳假设得出：

T(N) = (k-1) + (N-k-1) + 1 = N-1
         ^        ^
        T(k)    T(N-k)

（2）使用相同的参数：如果

T(N) = T(k) + T(m) + 1 where k+m < N

然后相同的证据将导致T(N) < N-1

Answer 2

对于你问题的第一部分，首先我应该提一下，在我看来作者是错的，因为你有这个递归方程式：

T（n）= T（k）+ T（n-k）+ 2：因为对于n> 1你称两个较小的部分而不是一个。现在我们的假设是2（n-1）递归调用。

现在让我们用感应来检查：

T(1) -> no recursive call.
T(2) = T(1) + T(1) + 2 : two recursive call.
...
T(n) = T(k) + T(n-k) + 2 = 2(k-1) + 2(n-k-1) + 2 = 2n-2 = 2(n-1).

同样对于你的问题的第二部分，作者意味着你是否分成两部分，使得部分的总和小于n的大小为k的一部分，另一部分大小为n-2k，对于k> 1。 1。

Answer 3

首先，我们没有“通过归纳来解决方案”，我们使用归纳来证明我们的初步猜测。现在，为了猜测我们可以使用像递归树这样的方法在您的问题中，最坏的情况是k=1，因为它会导致最多的递归。我们也知道每个级别的成本：

T(n) = T(1) + T(n-1) + 1 => T(n) = T(n-1) + 1

现在我们必须找到T(n-1)的费用，并将其添加到费用T(n)=1 我们猜测最终结果为N-1。在这一步中，我们使用归纳来证明我们的猜测。

更新：
T（n）的成本是1（T（1）是零，加上将被计算的T（n-1），加1 => 1），T（n-1）的成本也是1（具有相同的成本）逻辑）。我们按n-1的深度下降。最后一个是T（1），它是零。（画一棵树，它会帮助你理解）这种猜测增长顺序的方法称为recursion tree。现在你可以通过归纳来证明它。

有关如何应用归纳来证明假设的更多信息，请参阅CLRS等教科书。

递归函数分析中的递归调用数

3 个答案: