n维快速傅立叶变换的计算复杂度？

Question

我正在尝试编写一些代码来预测在给定的n维数组上执行离散傅立叶变换所需的时间，但是我很难理解n维的计算复杂性的FFT。

据我所知：

• 长度为N的向量的1D FFT应该k*(N*log(N))，其中k是某个时间常数

• 对于M*N矩阵，2D FFT应采用：

  N*(k*M*log(M)) + M*(k*N*log(N)) = k*M*N*(log(M)+log(N))

  因为它需要在每行和每列中采用1D FFT

这如何概括为ND案例？它是否应该是k*prod(dimensions)*sum(log(dimensions))？

Answer 1

如果我们进一步推导出2D，那就很明显了：

N*(k*M*log(M)) + M*(k*N*log(N)) = k*M*N*(log(M)+log(N))

变为：

                                = k*M*N*(log(M*N))

对于N维（A，B，C等），复杂性为：

O( A*B*C*... * log(A*B*C*...) )

从数学上讲，除了twiddle factors不同之外，N维FFT与尺寸乘积的1-D FFT相同。因此，计算复杂性是相同的。