Question

我正在做科学计算的家庭作业，特别是matlab中的Gauss-Seidel和SOR迭代方法，问题在于矩阵给出了意想不到的结果（解决方案不会收敛），而另一个矩阵收敛。

继承人的代码，其中：

A：系统矩阵A * x = b
Xini：初始迭代的数组
b：独立于系统A * x = b
maxiter：最大迭代次数
tol：宽容;
特别是，SOR方法将接收一个名为w的第六个参数，它对应于弛豫参数。

这是sor方法的代码：

 function [x2,iter] = sor(A,xIni, b, maxIter, tol,w)            
     x1 = xIni;
     x2 = x1;
     iter = 0;
     i = 0;
     j = 0;
     n = size(A, 1);

     for iter = 1:maxIter,
         for i = 1:n
             a = w / A(i,i);
             x = 0;
             for j = 1:i-1
                 x = x + (A(i,j) * x2(j));
             end
             for j = i+1:n
                 x = x + (A(i,j) * x1(j));
             end
             x2(i) = (a * (b(i) - x)) + ((1 - w) * x1(i)); 
         end
         x1 = x2;
         if (norm(b - A * x2) < tol);
             break;
         end
     end

以下是Gauss-seidel方法的代码：

function [x, iter] = Gauss(A, xIni, b, maxIter, tol)

x = xIni;
xnew = x;
iter = 0;
i = 0;
j = 0;
n = size(A,1);

for iter = 1:maxIter,
    for i = 1:n
        a = 1 / A(i,i);
        x1 = 0;
        x2 = 0;
        for j = 1:i-1
            x1 = x1 + (A(i,j) * xnew(j));
        end
        for j = i+1:n
            x2 = x2 + (A(i,j) * x(j));
        end
        xnew(i) = a * (b(i) - x1 - x2);
    end
    x= xnew;
    if ((norm(A*xnew-b)) <= tol);
        break;
    end
end

对于此输入：

A = [1 2 -2; 1 1 1; 2 2 1];
b = [1; 2; 5];

调用Gauss-Seidel或sor函数时：

[x, iter] = gauss(A, [0; 0; 0], b, 1000, eps)
[x, iter] = sor(A, [0; 0; 0], b, 1000, eps, 1.5)

高斯的输出是：

而对于sor来说：

x =

   NaN
   NaN
   NaN


iter =

        1000

然而，以下系统能够找到解决方案：

A = [    4 -1  0 -1  0  0;
        -1  4 -1  0 -1  0;
         0 -1  4  0  0 -1;
        -1  0  0  4 -1  0;
         0 -1  0 -1  4 -1;
         0  0 -1  0 -1  4   ]
b = [1 0 0 0 0 0]'

解决方案：

[x, iter] = sor(A, [0; 0; 0], b, 1000, eps, 1.5)
x =

    0.2948
    0.0932
    0.0282
    0.0861
    0.0497
    0.0195


iter =

    52

方法的行为取决于两个矩阵的条件？因为我注意到第二个矩阵的条件比第一个矩阵好。有什么建议吗？

Answer 1

来自wiki article on Gauss-Seidel：

只有当矩阵是对角占优的，或对称的和肯定的
时，才能保证收敛

由于SOR类似于Gauss-Seidel，我希望SOR能够保持相同的条件，但你可能希望看一下。

你的第一个矩阵肯定不是对角占优或对称的。然而，你的第二个矩阵是对称的和肯定的（因为all(A==A.')和all(eig(A)>0)）。

如果您使用Matlab的默认方法（A\b）作为“真实”解决方案，并绘制每次迭代与“真实”解决方案之间差异的标准，那么您将获得下面的两个图表。很明显，第一个矩阵永远不会收敛，而第二个矩阵在几次迭代后已经产生了可接受的结果。

在在野外应用之前，始终了解算法的局限性。

根据输入在matlab中实现的异常行为算法

1 个答案: