Question

我有这个巨大的矩阵A，尺寸为900000x900000。我必须解决这个线性方程 Ax = b其中b是大小为900000x1的列矩阵。

我使用matlab的反斜杠运算符（如A \ b）来尝试获取x。然而，它冻结了，我无法得到x。大多数情况下我的内存问题。即使我在具有更高内存的计算机上运行它，它也会使系统变得非常慢，我不得不等待得到答案。

我该如何解决这个等式。我的矩阵非常稀疏。然而，它的频带更宽，但大多数元素都是零。 b是一个完整的矩阵。有什么建议吗？

Answer 1

我做了一个项目，在那里我们也运行了如此庞大但幸运的非常稀疏的矩阵。使用如此大的矩阵，您可以通过直接方法丢失：您永远无法计算逆，因为它将是一个密集的矩阵，您永远无法存储。 LU或Cholesky分解等方法也非常昂贵，因为它们会再次产生重要的填充，即它们会破坏零。

一种可行的替代方法是使用迭代方法。如果您知道矩阵是对称且肯定的，请尝试Conjugate gradient method：

x = pcg(A, b);  %# Computes a solution to Ax = b, with A symm. pos-def.

如果方法收敛，我只是试试看看。我担心，证明正定性的假设并不容易。

如果你没有得到解决方案，还有更多的迭代方法。例如：

bicg     - BiConjugate Gradient Method
bicgstab - BiConjugate Gradient Method (stabilized)
lsqr     - Least Squares QR Method
gmres    - Generalized Minimum Residual Method (I like this a lot)

matlab中反斜杠运算符的问题

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