Question

问题 m x n 网格（ 0＆lt; = m，n＆lt; = 500 ）。网格中的每个单元格包含 k 硬币（k可以是负数，也可以是0）。您从 0,0 开始，以 m-1，n-1 结束，您可以向下移动1步或向右移动1步，收集尽可能多的硬币能够。如果 k＆lt; 0 ，那个特定的单元格有一个强盗，你不能进入那个单元格。如果您移入 8 相邻单元格中的任何一个，您将被删除 k 硬币。当你到达 m-1，n-1 时，你会有多少硬币？

例如在网格中：

0,23,20,-32
13,14,44,-44
23,19,41,9
46,27,20,0

ans = 129（按照路径：0-13-23-46-27-20-0）

时间限制：5秒

我不认为这个程序可以使用动态编程来解决。我还没有研究过图论（以防它可以用来解决这个问题）。简单的递归方法是我唯一能想到的，在给定的约束下效率太低。

那么解决它的好方法是什么？不要只是发布代码，告诉我如何开始。如果它与图论有关，那么表明涉及哪个定理将是非常有用的。

Answer 1

对于longest path problem，您的问题称为weighted directed acyclic graph。

当你到达（x，y）时，你可以获得的硬币数量最多：

coins(x,y) = max(coins(x-1,y), coins(x,y-1)) + change

这是recurrence relationship。它可以通过使用递归和memoization来提高性能，也可以使用迭代算法来解决。

迭代算法是一次通过网格一个对角线。从0,0开始。然后计算0,1和1,0。然后是0,2和1,1和2,0。等...

第1步：

 0,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

第2步：

 0, 23,  ?,  ?
13,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

第3步：

 0, 23,-33,  ?
13, 37,  ?,  ?   // 37 because of max(23,13) + 14
36,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

等...

完成此过程后，答案就是右下角的数字。

Answer 2

我认为这个程序不能用动态编程来解决。

为什么不呢？这是动态编程方法的主要候选者。

直接的递归方法是我唯一能想到的，在给定的约束下效率太低。

你能建立一个解决5x5网格的递归解决方案吗？完善！从那开始，然后通过为已经解决的单元格添加MxN最佳结果数组来memoize。使用所有大的负值启动该数组，然后在找到更好的解决方案时更新它。已经存在的东西了。完成单元格后，将解决方案放入MxN数组中：下次以递归方式到达时，检查数组是否有数字，如果有值，则返回它而不继续递归

备忘录解决方案本身非常简单。算法的预处理步骤（从相邻单元格中减去负数）需要更多代码。

int solve(int r, int c) {
    if(memo[r][c] != MIN) {
        return memo[r][c];
    }
    int res = grid[r][c];
    int a = 0, b = 0;
    if (r+1 != R) {
        a = solve(r+1, c);
    }
    if (c+1 != C) {
        b = solve(r, c+1);
    }
    res = max(res+a, res+b);
    return memo[r][c] = res;
}

以下是ideone上的解决方案，它按预期返回129。

Answer 3

您的问题可以描述为max-flow problem，因此可由Ford-Fulkerson-Algorithm解决。

转型如下：

删除负数节点并从相邻单元格中减去它们的数量。
0/0将是源，m-1，n-1是接收器
每个节点都连接到下方和右侧的节点，弧的容量等于其目标节点的值。
现在最大流量等于你可以拥有的最大硬币数量

可能有更简单的解决方案，这只是我想到的第一件事。

编辑：正如dasblinkenlight在评论中指出的那样，这不起作用，因为流实际上是多个路径的组合，这当然不是我们想要的。

算法方法 - 在网格中找到最佳路径

3 个答案: