找到具有最大公共设置位数的位串对

Question

我想找到一种算法来查找数组中具有最大公共设置位数的位串（在数组中的所有对中）。我知道可以通过比较数组中的所有位串对来实现这一点，但这是O（ n ² ）。有更高效的算法吗？理想情况下，我希望算法通过在每次迭代中处理一个传入的位串来递增地工作。

例如，假设我们有这个位串数组（长度为8）：

B1:01010001 
B2:01101010
B3:01101010
B4:11001010
B5:00110001 

这里最好的一对是B2和B3，它们有四个常见的设置位。

我发现了一篇似乎描述这种算法的论文（S. Taylor＆amp; T. Drummond（2011）;“Binary Histogrammed Intensity Patches for Efficient and Robust Matching”; Int.J。Comput.Vis。 94：241-265），但我不理解第252页的描述：

  

这可以在每次迭代中逐步更新，因为需要重新计算的唯一[bitstring]重叠是新的父特征和根中任何其他[bitstrings]的那些，其中“最重叠特征”是所选择的两个中的一个组合。这避免了在每次迭代中需要O（N ² ）重叠比较，并且允许在一秒钟内构建具有700个特征的通常大小的数据库的林。

Answer 1

据我所知，Taylor＆amp; Drummond（2011）并不打算给出一个O（ n ）算法，用于在具有最大公共设置位数的数组中查找位串。他们描绘了一个论点，即在将一个新的位串添加到数组之后，可以在O（ n ）中更新中的最佳对的记录（并删除了两个旧的位串） ）。

当然第252页上对算法的解释不是很清楚，我认为他们的草图论证可以在O（ n ）中更新记录最多是不完整的，所以我可以看到为什么你感到困惑。

无论如何，这是我从文章中解释算法1的最佳尝试。

算法

算法采用位串数组并构造查找树。查找树是二进制林（二进制树集），其叶子是来自阵列的原始位串，其内部节点是新的位串，并且如果节点A是节点B的父节点，则A＆amp; B = A（也就是说，A中的所有设置位也在B中设置）。

例如，如果输入是位串的数组：

然后输出是查找树：

本文所述的算法如下：

1. 让 R 成为位串的初始集（根集）。

2. 对于 R 中没有合作伙伴的 R 中的每个bitstring f1 ，找到并记录其合作伙伴（ R 中的bitstring f2 - { f1 }，它与 f1具有最大的设置位数）并记录它们共有的位数。

3. 如果 R 中没有任何位串的任何公共设置位，请停止。

4. 设 f1 和 f2 是 R 中具有最大公共设置位数的位串。

5. 让 p = f1 ＆amp; f2 是 f1 和 f2 的父。

6. 从 R 中删除 f1 和 f2 ;将 p 添加到 R 。

7. 转到第2步。

分析

假设数组包含固定长度的 n 位串。然后所描述的算法是O（ n ³ ），因为步骤2是O（ n ² ），并且有O（ n ）迭代，因为在每次迭代中我们从 R 中删除两个位串并添加一个。

本文包含一个论点，即第2步仅在第一次循环时为Ω（ n ² ），在其他迭代中它为O（ n ）因为我们只需要找到 p “的伙伴以及 R 中的任何其他位串，其伙伴是被选中的两个中的一个用于组合。”但是，这个论点对我来说并不令人信服：目前尚不清楚只有O（1）其他这样的位串。 （也许有更好的论点？）

我们可以通过在每对位串之间存储公共设置位的数量，将算法降低到O（ n ² ）。这需要O（ n ² ）额外的空间。

参考

• S上。泰勒＆amp; T. Drummond（2011年）。 “用于高效和稳健匹配的二进制直方图强度补丁”。 内部。 J. Comput。 Vis。 94：241-265。

Answer 2

对于每个位位置，您可以保持两个位置，即那个位置开启和关闭位置的位置。例如，集合可以放在两个二叉树中。

然后你只需要执行set unions，首先是所有8位，而不是7的所有组合，依此类推，直到找到带有两个元素的union。

此处的复杂性在位大小呈指数级增长，但如果它很小且已修复，则这不是问题。

另一种方法可能是将n个k位字符串视为kD空间中的n个点，您的任务是找到最接近的两个点。有很多几何算法可以做到这一点。