Question

问题：

拉里在数学方面非常糟糕 - 他通常使用计算器，这在大学期间运作良好。不幸的是，在滑雪事故发生后，他和他的好伙伴Ryan在一个荒岛上被击中。他们现在正试图花一些时间搞清楚一些好问题，如果他不能回答，Ryan会吃Larry，所以他的命运取决于你！

这是一个非常简单的问题 - 给定数字N，K数小于N的方式可以加到N？

例如，对于N = 20和K = 2，有21种方式：

0+20
1+19
2+18
3+17
4+16
5+15
...
18+2
19+1
20+0

输入每一行将包含一对数字N和K.N和K都是1到100的整数，包括1和100。输入将在2 0结束。产量由于拉里只对答案的最后几位感兴趣，因此对于每对数字N和K，在一行上打印单个数字mod 1,000,000。

示例输入

20 2
20 2
0 0

示例输出

21
21

解决方案代码：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define maxn 100

typedef long ss;
ss T[maxn+2][maxn+2];

void Gen() {
    ss i, j;
    for(i = 0; i<= maxn; i++)
        T[1][i] = 1;
    for(i = 2; i<= 100; i++) {
        T[i][0] = 1;
        for(j = 1; j <= 100; j++)
            T[i][j] = (T[i][j-1] + T[i-1][j]) % 1000000;
    }
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    ss n, m;
    Gen();
    while(cin>>n>>m) {
        if(!n && !m) break;
        cout<<T[m][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

这个计算是如何推导出来的？它是如何来的T[i][j] = (T[i][j-1] + T[i-1][j])？

Answer 1

注意：我只使用 n 和 k （小写）来引用一些匿名变量。我总是使用N和K（大写）来表示问题中定义的N和K（总和和部分的数量）。

让C（ n ， k ）成为 n 选择 k 的结果，然后解决方案问题是C（N + K - 1，K - 1），假设那些K数是非负的（或者即使对于N = 0和K = 2，也会有无限多的解）。

由于K数是非负的，并且总和N是固定的，我们可以将问题看作：在K人中划分糖果的方法有多少。我们可以将糖果分成一条线来分开糖果，并在糖果之间放置（K-1）分离器。（K-1）分离器将糖果分成K部分的糖果。从另一个角度来看，它也像在（N + K - 1）位置中选择（K - 1）位置放入分隔符，然后其余的位置是糖果。因此，这解释了为什么方式的数量是N +（K-1）选择（K-1）。

然后问题减少到如何找到C的最低有效位（ n ， k ）。（由于maxn中定义的N和K的最大值为100，我们不必担心算法是否达到O（n ³）。

计算使用此组合身份C（ n ， k ）= C（ n - 1 ， k ）+ C（ n ， k - 1 ）（Pascal's rule）。实现的聪明之处在于它不存储C（ n ， k ）（组合结果表，这是一个锯齿状数组），但它存储换句话说是C（N，K）。身份实际上存在于T[i][j] = (T[i][j-1] + T[i-1][j])：

中

第一个维度实际上是K，即部分的数量。第二个维度是和N. T[K][N]将直接存储结果，并根据上面得出的数学结果，是C（N + K - 1，K - 1）的（最低有效数字）。 / LI>
将T[i][j] = (T[i][j-1] + T[i-1][j])重写为等效的数学结果：

C（i + j-1，i-1）= C（i + j-2，i-1）+ C（i + j-2，i-2），根据同一性是正确的。

程序将逐行填充数组：

使用静态数组初始化为0的事实，行K = 0已经初始化为0。
它用1填充行K = 1（只有1种方法将N分成1部分）。
对于其余的行，它将N = 0设置为1（只有一种方法将0分成K部分 - 所有部分都是0）。
然后其余部分填充表达式T[i][j] = (T[i][j-1] + T[i-1][j])，它将引用前一行，以及同一行的前一个元素，这两个元素都已在之前的迭代中填充。

Answer 2

这是一个着名的问题 - 您可以查看解决方案here

将N个相同球放入K盒的方法有多少。

以下算法是针对您的问题的动态编程解决方案：

将D [i，j]定义为我的数字小于j的方式的数量，可以总结为j。

0＆lt; = i＆lt; = N. 1＆lt; = j＆lt; = K

每个j的D [j，1] = 1。

其中j＆gt; 1你得到：

D[i,j] = D[i,j-1] + D[i-1,j-1] +...+ D[0,j-1]

Answer 3

设C（x，y）为x的结果选择y，然后T[i][j]的值等于：C(i - 1 + j, j)。

你可以通过归纳来证明这一点。

基本情况：

T[1][j] = C(1 - 1 + j, j) = C(j, j) = 1

T[i][0] = C(i - 1, 0) = 1

对于诱导步骤，使用公式（对于0 <= y <= x）：

C(x,y) = C(x - 1, y - 1) + C(x - 1, y)

因此：

C(i - 1 + j, j) = C(i-1+j - 1, j - 1) + C(i-1+j - 1, j) = C(i-1+(j-1), (j-1)) + C((i-1)-1+j, j)

或换句话说：

T[i][j] = T[i,j-1] + T[i-1,j]

现在，正如之前提到的 nhahtdh ，您要寻找的值是C（N + K - 1，K - 1）等于：

T[N+1][K-1] = C(N+1-1+K-1, K-1)

（模数1000000）

Answer 4

该问题被称为“整数分区问题”。基本上存在n的k分区的递归计算，但是你的解决方案只是它的动态编程版本（非递归和自下而上的计算）。

需要解释此代码（算法）

4 个答案: