考虑一组隐藏的k随机数{r1,r2...rk}，其中[0..N]范围内的均匀概率分布，，其中N我不知道。在每个时间间隔内，我都会看到ri号码，如果我还没有选择ri，我可以选择c作为我的最终号码c。 {1}}，或继续前进到下一个时间间隔。当ri向我透露时，我无法再选择任何r1,r2..r(i-1)。如果我在rk显示的时间内没有选择号码，则默认情况下会变为c。
我希望优化c，从某种意义上说，最大化其预期值。
如果知道N那么答案是显而易见的。同样，如果k很大，那么我可以使用ri的早期值估算N。
到目前为止的进展：
如果k = 1则没有选择。默认情况下为c=r1。 c的预期值为N/2。
如果k = 2则所有选择算法都与预期值N/2相同。
如果k = 3则最佳算法
if r2/r1 >= 0.75 then
c=r2
else
c=r3
c的预期值约为0.58N。
如果k = 4那么我提出的最好的是
if r2/r1 > 0.920 then
c=r2
elseif r3/r1 > 0.665 then
c=r3
else
c=r4
c的预期值约为0.64N。我相信我应该能够通过“使用”r1和r2的值来选择是否接受r3作为我选择的值，但分析解决方案让我失望了
任何人都可以为k=4和/或k=5提供更好的算法吗？
备注秘书问题： 在我可以找到的SP的所有版本中，您都可以获得有关已经出现的候选人的相对等级的信息。但是在这个问题中，你有一个每个候选人的价值（当然来自未知范围[0..N]），并且通过利用你可以做得更好的价值比。例如，针对k = 3问题的SP解决方案（如果p2> p1，则选择p2，否则选择p3）具有o.5833N的预期回报，而我的解决方案（如果p2 / p1> 0.75则选择p2，否则选择p3）预期收益率为0.5937。
到目前为止，我对任何k的问题的最佳回报是：
i = 0
repeat
inc(i)
until (r[i]/Max(r[1]..r[i-1]) > V[i]) or (i=k)
c=r[i]
其中对于任何选择的k，v [i]（或者如果您愿意，可以称之为v [k，i]）是预先选择的实数值数组。秘书问题的标准解决方案仅使用inf值和1 VV = [inf，... inf，1，...，1]，而我可以通过使用实数更好（至少小k） V.但我相信我的解决方案仍然是次优的，因为我只使用Max（r1..ri）的值，而在每个决策点的r1..ri值的分布中必须有“隐藏”信息。 / p>
迄今为止的最佳解决方案：
k = 3 : v = [inf,0.75] : cexp = 0.58N
k = 4 : v = [inf,0.92,0.66] : cexp = 0.665N
k = 5 : v = [inf,inf,0.82,0.63] : cexp = 0.6683N
答案 0 :(得分：3)
这是最佳停止理论中“秘书问题”的许多修改之一。我对你的特定问题没有现成的答案，但我强烈建议你阅读这个'秘书问题'。关于它的论文很多，我相信你会找到一些东西。
答案 1 :(得分：2)
请注意，对于N/2：
k=2
N/2并将其称为m。r1 > m接受c，则拒绝并选择r2为c。这是对这种策略的期望。
m ≥ N，则始终拒绝r1并接受r2，因此c的预期值为N/2。m < N，则接受：
r1概率为(N-m)/N r2剩余概率概率m/N 在第二种情况下，r1的预期为Σ_{m<i≤N} i / (N-m) > N/2，而r2的预期为N/2。在第二种情况下，整体策略的期望值大于N/2。
如果你对N/2有一个很好的猜测，这个策略会更好，但可爱的事实是你不会出错：即使你离开了，战略至少会产生{{1}期待。
答案 2 :(得分：1)
为什么最佳解决方案仅涉及将r i 与Max（r 1 ，r 2 ，...进行比较，这可能是一个很好的理由。 。，r i ）：the German Tank Problem。
假设您刚刚看到r k-1 ，倒数第二个数字。考虑一下你在那时做出的决定。您可以采用r k-1 或等待查看尚未发布的r k 。什么时候应该选择r k-1 ？当您认为r k-1 大于r k = N / 2的预期值时。但是，如果你不知道N，你如何估计r k 的期望值？那么，你可能会做的是估计N.你是如何做到的？您使用German Tank Problem的解决方案之一，它仅依赖于观察值的最大值（和计数值）。
计算r i 的个案，其中i < k-1不那么简单。例如，当你查看r k-2 时，你需要弄清楚你做了什么，因为你有两个更多的数字要查看和（可能） ）还有一个选择。但是，我怀疑在每种情况下，你要做的关键是做一些N的估计，这只涉及到目前为止观测值的最大值和数量。